最近在《深入理解計算機系統》上看到一道題，分享一下：

假設我們在對有符號值使用補碼運算的32位機器人運行代碼。對于有符號值使用的是算術右移，而對于無符號值使用的是邏輯右移。變量的聲明和初始化如下：

int x = foo(); //任意值

int y = bar(); //任意值

unsigned ux = x;

unsigned uy = y;

對于下面每個C表達式，1)證明對于所有的x和y值，它都為真(等于1)；或者2)給出使得它為假(等于0)的x和y的值：

(x > 0) || (x-1 < 0)

假。設x等于Tmin32(32位有符號補碼的最小值：-2147483648)；那么，x-1必定負溢出等于Tmax32(32位有符號補碼的最大值，2147483647)，此時表達式等于0。

(x & 7) != 7 || (x << 29 < 0)

真。如果表達式(x&7)!=7的值為0，則x低3位為二進制為111。在32位機器上，左移29位時，此時最高位符號位正好為1必定小于0。

(x*x) >= 0

有符號補碼乘法是先將補碼按照無符號數相乘，再截斷后，將無符號數轉成補碼得到乘積。所以只要乘積截斷之后最高位為1就不成立。比如，當x為65535(0xffff)時，x*x為-131071(0xfffe0001)

x<0 || -x <= 0

真。如果x大于等于0，則-x小于等于0。因為32位補碼的表示范圍為-2147483648~2147483647。每一個正數都有對應的負數。

x > 0|| -x >= 0

假。如果x小于等于0，設x為Tmin32(32位有符號補碼的最小值：-2147483648)。Tmin32的負數等于其本身，沒有正數與之對應。

x+y == uy + ux

真。補碼和無符號加法有相同的位級行為。x,y轉為ux,uy只是數值變化，二進制位并無變化。另外,x+y雖然會有正溢出或負溢出，uy+yu也有正溢出，但是他們在二進制位上都是一樣的。進行比較之前，會將有符號補碼x和y的結果轉換成無符號數。所以比較結果為1。

x*~y + uy * ux == -x

真。利用C語言按位取反的特性，~y=-y-1。代入表達式有x*-y-x+uy*ux。又因為x*y等于ux*uy，所以表達式只剩余-x。

總結

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