數(shù)學(xué)關(guān)注本質(zhì)、共性、規(guī)律和聯(lián)系

結(jié)構(gòu)：

代數(shù)結(jié)構(gòu)：“合作”，運算 & 運算規(guī)律。解決計算問題

順序結(jié)構(gòu)：對比，大小、先后、隸屬。解決比較問題

拓撲結(jié)構(gòu)：親疏 & 規(guī)模大小的距離。解決度量問題

數(shù)學(xué)從結(jié)論（公理）出發(fā)，采用邏輯演繹（三段論）的方法，推出新結(jié)論（公式，定理）

公理不能相互矛盾（相容性，和諧），不能相互包容（獨立性，簡潔）。做不到完備性

數(shù)學(xué)結(jié)論只承認演繹推理。合情推理找方向；演繹推理定結(jié)論。演繹推理所得結(jié)論必須是新的、有意義的。

思考方法

分類研究：按屬性分類，逐一研究。化整為零，積零為整

類比方法：通過一個個體，認識到另一個個體

歸納方法：通過一個群體中的若干個體，認識整個群體。通過個性發(fā)現(xiàn)共性。

化歸方法：把問題進行變化、轉(zhuǎn)換成某個已解決或較易解決的問題去研究。

特點：概念的抽象性、推理的嚴密性、結(jié)論的確定性、應(yīng)用的廣泛性。

地位：基礎(chǔ)性、普適性、可靠性

功能：實用、教育、語言、文化

歷史：

初等數(shù)學(xué)（常量數(shù)學(xué)）&& 古代數(shù)學(xué)：17世紀以前的數(shù)學(xué)

變量數(shù)學(xué)：17 - 19世紀；笛卡爾建立解析幾何（起點）；牛頓 & 萊布尼茲建立微積分（標志）

近代數(shù)學(xué)：19世紀的數(shù)學(xué)，三大特點：分析嚴密化、代數(shù)抽象化、幾何非歐化

? 四次以上方程沒有根式解

現(xiàn)代數(shù)學(xué)：20世紀的數(shù)學(xué)，一大基礎(chǔ)，三大趨勢，六大特征

幾何：發(fā)源（歐幾里得幾何），劃時代發(fā)展（坐標幾何），（射影幾何），（向量幾何），（非歐幾何），（微分幾何）

發(fā)散性思維：歸納、類比、關(guān)聯(lián)、輻射、遷移、空間想象等

收斂性思維：可靠的推理方法，有有限窮舉法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等

任意 n 邊形的外角和都是 360 度

對稱性：軸對稱、中心對稱（旋轉(zhuǎn)或反射不變）、旋轉(zhuǎn)對稱（旋轉(zhuǎn)一定角度不變）

不動點定理：地球點無風(fēng)、地圖地面一致、指紋

任何凸n邊形的外角和都是360度。

平面上 f - e + v = 1 （區(qū)域數(shù)f，線段數(shù) e，頂點數(shù) v）

空間上 f - e + v = 2（歐拉定理）

隨機現(xiàn)象的單個出現(xiàn)無規(guī)律，但大量出現(xiàn)就呈穩(wěn)定的規(guī)律性

黃金分割：黃金矩形、黃金三角形、斐波那契數(shù)列

多邊形填補：正三角形，正方形，正六邊形

鴿籠：

367人存在同日生日

105人存在同性別、生日同星期

聚會，兩個人的在場朋友數(shù)一樣多

有理數(shù)：有限小數(shù) or 無限循環(huán)小數(shù)

最小的數(shù)域，任一數(shù)域必須包含有理數(shù)集。

數(shù)軸上稠密，所占長度為0

可數(shù)，和自然數(shù)一樣多。

可數(shù)集：可以排成一列，或可以一個個數(shù)下去的無限集合。

一個可數(shù)集合，并入無數(shù)個可數(shù)集后，還是可數(shù)集。

實數(shù)集：

連續(xù)，在數(shù)軸上沒有縫隙

不可數(shù)

代數(shù)集：

可數(shù)

超越數(shù)：構(gòu)成實數(shù)集不可數(shù)的原因。

劉維爾數(shù)：最早，L = 0.11000100000…

Pi，e，光速，萬有引力常數(shù)等

歐幾里得幾何：

五條公設(shè)：第五，一直線與兩直線相交，且同側(cè)所交兩內(nèi)角和小于180度，則兩直線無限延長后必然交于一點

非歐幾何：黎曼幾何 && 羅巴切夫斯基幾何，對比：見課本p157
- 羅：小于180，面積角欠反比，平行線距離大，不存在矩形和相似形
- 黎：大于180，面積角余正比，平行線距離小，不存在矩形和相似性
- 總結(jié)：羅小，角欠反比，大，不存在；黎大，角余正比，小，不存在

重大意義：解決了平行公理的獨立性問題，預(yù)示了相對論的產(chǎn)生

幻方：行列對角線和都相等。

標準幻方：各數(shù)都是1 ～ n^2 的連續(xù)自然數(shù)，幻和為：n(n^2 + 1)/2

奇數(shù)階幻方：

偶數(shù)階幻方：雙偶階幻方（階為4的倍數(shù)），單偶階幻方

雙重幻方/平方幻方：各數(shù)換成平方后還是幻方

乘積幻方/和積幻方：幻方的行列對角線積也相等

存在性：2階不存在，3階1種，4階880種…

幻方構(gòu)造：

一般偶數(shù)階中心對稱變換：1 ～ 16 從上到下，從左到右填上。雙對角線不變，其他中心對稱變換

奇數(shù)階的楊輝構(gòu)造法：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺進

奇數(shù)階的勞伯爾構(gòu)造法：頂中為1，右上加，出則循，有則原下

已知構(gòu)未知：每個元素都加、乘同一個正整數(shù)；或者每行、每列、每條對角線上各選一個加上一個正整數(shù)；或兩個幻方進行加or減

悖論：不可避免，可以解決

三次數(shù)學(xué)危機：無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)、微積分的誕生（無窮小量）、康托的集合論

三大作圖難題：不可能用尺規(guī)作圖實現(xiàn)

化圓為方、倍立方體、三等分任意角

費馬大定理：方程 x^n + y^n = z^n (n >= 3 ) 沒有正整數(shù)解。20世紀懷爾斯證明

哥德巴赫猜想：還未證明

四色猜想：機器證明

龐加萊猜想：已經(jīng)證明

拓撲學(xué)：流形。判斷相同，關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)：如果可通過拉伸、壓縮等方式變化成另一個流形，則被認為本質(zhì)一樣。

黎曼猜想：未證明

七橋問題，對應(yīng)一筆畫定理：一筆畫充要條件是 圖連通，奇點個數(shù)為0或2；

2時一奇點為起點，另一為終點；0時任一頂點都是起點and終點。
可以考察一筆畫圖形構(gòu)造，整明白奇點和一筆畫定理就行。舉例：五角星

將斐波那契數(shù)列的每一項被8除得到的余數(shù)作為一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列一定是一個循環(huán)（周期）數(shù)列。

正確，為：1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0為一組.12個數(shù)為一組。由 [x] = [x - 1] + [x - 2] =》[x] % n =( [x - 1] % n + [x - 2] % n) % n 得出

派對中一定有兩個人的共同朋友數(shù)一樣。

鴿籠原理。設(shè)派對 n 個人，那么共同朋友取值范圍 [1, n - 1] 一共 n - 1 個選項。那么肯定至少兩個人朋友數(shù)一樣

撲克牌，分4疊，抽余數(shù)，放到下一疊。求第四疊的余數(shù)

其實就是余數(shù)轉(zhuǎn)移，最后變成求原總點數(shù)的余數(shù)即可。

取石子：

情況一：一次拿1～2顆，最后取完者為勝

1）一堆：留3的倍數(shù)為勝利。（后手，每次保證和前一次構(gòu)成3）

2）兩堆：留下兩堆石子數(shù)除以3所得余數(shù)相同。（化歸，當(dāng)一堆取完后（余數(shù)0），另一堆也余數(shù)0，也就是3的倍數(shù)，成情況1）

3）任意堆：除3所得余數(shù)相同的石子堆成對出現(xiàn)即可。（化歸成1 && 2）

情況二：一次一堆中任意顆。

1）一堆：一步到位

2）兩堆：留下的兩堆，石子數(shù)相同即可

3）任意多：偶數(shù)同2）

? 奇數(shù)：(1, 2k, 2k + 1)

? (2, 4m, 4m + 2), (2, 4m + 1, 4m + 3),

? (3, 4m, 4m + 3), (3, 4m + 1, 4m + 2)

? (4, 8m, 8m + 4), (4, 8m + 1, 8m + 5), (4, 8m + 2, 8m + 6), (4, 8m + 3, 8m + 7)；
這里得背

撲克牌魔術(shù)：五張牌取一張，由剩下四張判斷取出的一張（詳細見課本207）

• 花色確定：鴿籠原理，五張牌一定有兩張同花色；取出一張，另一張放在首位。
• 點數(shù)判斷：首先用剩下三張，擺出1 ~ 6的數(shù)字：小中大 = 1，小大中 = 2 以此類推。
• 最后按照首位牌點數(shù)，和上面擺出的1~6獲取實際點數(shù)：同花m, n (m < n)
  • 若 n - m <= 6，則交n留m；3張牌擺出 n - m；（用 [n - m] + m 得出 n）
  • 若 n - m > 6，則交m留n；三張牌擺出 13 + m - n；（用 [13 + m - n] + n 得出 13 + m）

具體見課本207，大概思路是這樣

RSA 編碼：

• 原理:破解密碼需要分解大數(shù)，大數(shù)分解困難
• 密鑰制作流程:
  • 先獲取兩個大素數(shù)p, q
  • 由此獲取大數(shù) N = p * q
  • 接著選取一個與(p - 1)、(q - q) 互素的數(shù) n
  • 然后選取m，滿足 mn - 1 = k(p - 1)(q - 1)，k 為倍數(shù)
  • 公開密鑰 N && n
• 密鑰使用：
  • 加密：用 N 和 n，比如明文 x，加密成 y = (x ^ n) % N。
  • 解密：用 N 和 m，比如解密上面的y，就是 x’ = (y ^ m) % N
• 具體例子見課本 p228