1. 資產組合VaR建模方法回顧

文章中總結了通過DCC模型估計組合向前一日VaR的方法，整體思路如下：

●??通過Garch族模型估計各資產的波動率

●??通過DCC模型估計各資產間的相關系數，結合1得到資產組合的協方差矩陣

●??在各資產正態性假設的前提下，可以知道資產組合也服從正態分布，并且均值與協方差陣已在1,2中計算得到

●??在已知組合中各但資產權重w的情況下，根據下式計算組合VaR

文章中總結了通過蒙特卡洛方法估計組合向前K日VaR的方法，也可以僅計算組合向前一日VaR(本文只考慮向前1日的情況)，文章中也對比了蒙特卡洛方法與DCC方法得到的結果，差異并不大。蒙特卡洛方法的思路如下：

●??根據Garch族模型估計資產的波動率

●??根據DCC模型估計組合的相關系數

●??在1,2的基礎上，在正態性假設前提下，得到組合的分布函數，對組合收益率進行模擬，在給定各資產權重w的情況下，可以得到組合的總收益

●??重復1-3若干次，可以得到組合總收益的模擬序列，類似HS方法，取p分位數即可

可以看出不論是DCC模型還是蒙特卡洛方法，都是在正態性假設的前提下，得到組合的分布函數再進行求解。事實上，也可以類比多元正態的概念構建多元t分布和多元漸進t分布，假設組合服從這樣的分布，求出分布的參數后，再用蒙特卡洛方法進行模擬，這些理論依據已經很成熟，推導過程見文獻[1]，這里不再贅述。

但需要說明的是，多元t分布和多元漸近t分布都沒有邊際分布和線性組合依然多元t或者多元漸近t的性質。回憶多元正態的情況下，為了生成多元正態隨機數，實際上是先產生不相關的n組一元正態隨機數向量，然后通過cholesky分解轉換為符合給定相關系數矩陣的組合收益率模擬序列。如果組合的分布不具有類似多元正態的性質，要根據分布函數模擬組合收益就比較困難，必須直接通過多元分布函數產生隨機數，不能分解成單個資產去做，雖然也有相關的方法可以生成給定分布函數下隨機數，但都比較麻煩，這是之前方法的一個局限性。

此外，多元正態假設所有的單個資產都是正態分布，多元t分布和多元漸近t分布的邊際分布并非t分布或者漸近t分布，而不同的資產可能服從不同的分布，需要用不同方法去建模，已有的多元分布都不能滿足這一條件，這是之前方法的另一局限性。

比較理想的狀態是，我們可以用不同的方法對不同的單資產進行建模，最終n各資產具有不同的分布函數

這種情況下，如果可以找到一個連接函數G，通過這n個邊際分布得到組合的分布F，就可以解決上面所說的兩種局限。

這也正是本文總結的Copula模型的邏輯。

2.Copula模型

Sklar定理

Copula模型整體來說比較復雜，這里只對關鍵的部分加以說明，模型中最重要的定理是Sklar定理，也就是上面所說的理想情況，具體敘述如下

G稱為copula CDF，在sklar定義的假設下，如果我們已經通過一些單變量模型得到了單資產的分布函數，只需要確定出copula函數G，就相當于知道了組合的分布函數，從而把估計組合分布函數的問題轉化為估計copula函數的問題。當然copula函數也不是靠猜，有一些常用的copula函數可以選擇，在確定了copula函數之后，可以通過MLE等方法估計參數。

參數估計(MLE)

這里的C就是上文的G，見參考文獻[2]，二元情況下，可以細分為

其中，序號1稱為Gumbel Copula函數，序號2稱為Clayton Copula函數，序號3稱為Frank Copula函數，之所以說明這三個，是因為這三個實際應用中比較多，python的copulalib包中也只提供這三種方法，不過本文并未嘗試這幾種方法，有興趣的可以自己嘗試下。

VaR估計思路

從之前的敘述中可以看出，通過copula函數得到的組合分布函數沒有非常好的解析表達式，所以直接通過定義計算VaR的方法行不通，一般采取與蒙特卡洛方法相結合的方式，生成給定copula函數下的隨機數，模擬資產組合的收益序列，再根據組合權重得到組合總收益，重復若干次，取p分位數。

隨機數構造

使用蒙特卡洛方法的難點在于生成給定copula函數下的隨機數，需要用到Nelsen定理，詳見參考文獻[2]

用Nelson定理構造隨機數的方法如下

看了下copulib的源碼，就是用這種方法構造的。而如果是多元正態copula或者多元t-copula的話， 有更簡便的方法。以二元為例，可以往更高維推廣

服從二元正態，可以直接模擬，然后再用標準正態分布函數作用，就可以得到符合給定多元正態copula的隨機數，多元t-copula分布類似。

在得到符合給定copula分布的隨機數u后，根據單個資產的分布F，可以得到單資產對應的隨機數z

隨后可以根據權重計算組合收益進而估計VaR。

綜上，可以將Copula函數估計VaR的過程總結如下

選擇copula函數，估計參數

第一步：根據單變量模型對所有單資產進行建模，估計分布函數F；

第二步：根據所有的分布函數F和給定copula函數，最大化對數似然函數估計參數；

蒙特卡洛模擬估計VaR

第一步：生成符合copula函數的隨機數;

第二步：通過隨機數得到各資產收益的模擬序列；

第三步：根據各資產權重得到組合收益序列，取p分位數作為VaR估計值

3.實證分析

數據：S&P500、US 10yr T-Note Fixed Term(同上一篇)

區間：2001-2010

蒙特卡洛模擬次數：10000次

數據和代碼在后臺回復“VaR5”獲取

僅估計最后一天的VaR。代碼中未給出太多注釋，可以參見文獻[1]第九章習題。

前兩道題首先通過threshold correlation說明正態性假設并不符合實際，threshold correlation定義如下，r(p)表示r的p分位數

結果如下

藍色線為真實收益序列的threshold correlation，紅色為標準正態的，如果將真實收益序列轉化為標準收益，結果如下

可以看出，二者相差很大，說明用多元正態進行建模并不符合實際。

1def getThre_cor(data,column1,column2,p):

2cor = pd.DataFrame(p,columns = ['p'])

3cor['thre_cor'] =0

4foriinrange(cor.shape[0]):

5ifp[i] <=0.5:

6condition1 = (data[column1] <= np.percentile(data[column1],p[i]*100))

7condition2 = (data[column2] <= np.percentile(data[column2],p[i]*100))

8else:

9condition1 = (data[column1] > np.percentile(data[column1],p[i]*100))

10condition2 = (data[column2] > np.percentile(data[column2],p[i]*100))

11datas = data.loc[condition1 & condition2,:]

12cor.loc[i,'thre_cor'] = np.corrcoef(datas[column1],datas[column2])[0,1]

13returncor

14

15def Thre_cor_norm(num,rou):

16np.random.seed(52)

17data = pd.DataFrame(index = range(num))

18data['r1'] = np.random.normal(size=(num,1))

19data['r2'] = np.random.normal(size=(num,1))

20

21data['r1_c'] = data['r1']

22data['r2_c'] = data.r1*rou + data.r2*(1- rou**2)**0.5

23returndata

24

25p = np.arange(0.15,0.90,0.05)

26rou = np.corrcoef(data1.Log_Return_SP,data1.Log_Return_US)[0,1]

27data_norm = Thre_cor_norm(30000,rou)

28cor_norm = getThre_cor(data_norm,'r1_c','r2_c',p)

29

30p = np.arange(0.15,0.86,0.01)

31cor = getThre_cor(data1,'Log_Return_SP','Log_Return_US',p)

32ax = plt.figure(figsize=(10,5))

33plt.plot(cor.p,cor.thre_cor,linewidth =2)

34plt.plot(cor_norm.p,cor_norm.thre_cor,linewidth =2,color ='red')

35plt.grid()

36plt.show()

第三道題為用t-garch分別對兩個單資產進行建模，估計參數d，不再說明；

第四道題為用第三問的結果建立二元正態copula模型，估計組合VaR,過程前面已經說明，代碼如下

估計copula函數的參數

1def getNegativeLoglikelihood_copula(rou,r):

2LogLikeLihood = -r.shape[0]*np.log(1- rou**2)/2- ((r.norm1**2+r.norm2**2-2*rou*r.norm1*r.norm2)/(2*(1- rou**2)) -

30.5*(r.norm1**2+ r.norm2**2)).sum()

4return-LogLikeLihood

5

6rou_best = optimize.fmin(getNegativeLoglikelihood_copula,rou0, \

7args=(copula_data,),ftol =0.000000001)

8print('估計結果為：',rou_best)

模擬

1data4['u1c'] = data4['u1']

2data4['u2c'] = data4.u1*rou + data4.u2*(1- rou**2)**0.5

3data4['F1'] = norm(0,1).cdf(data4['u1c'])

4data4['F2'] = norm(0,1).cdf(data4['u2c'])

5data4['z1'] = t(d_SP).ppf(data4.F1)*((d_SP-2)/d_SP)**0.5

6data4['z2'] = t(d_US).ppf(data4.F2)*((d_US-2)/d_US)**0.5

7data4['R1'] = data4.z1*sigma_SP**0.5

8data4['R2'] = data4.z2*sigma_US**0.5

9data4['R'] =0.5*data4.R1 +0.5* data4.R2

10VaR = -np.percentile(data4.R,1)

最終估計結果為VaR = 0.0101，可以與上篇文章最后一日的結果相對比，基本上是一致的。

原文發布時間為：2018-10-1

本文作者：量化小白H

本文來自云棲社區合作伙伴“Python愛好者社區”，了解相關信息可以關注“Python愛好者社區”。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python做var模型_【Python金融量化】VaR系列（五）：Copula模型估计组合VaR-阿里云开发者社区...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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