漢諾塔遞歸算法/搬金盤的婆羅門 - Python實現

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17.1 漢諾塔問題

法國數學家愛德華·盧卡斯曾轉述過一個印度的古老傳說：在世界中心貝拿勒斯（在印度北部）的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根金剛石柱。印度教的主神梵天在創造世界的時候，在其中一根石柱上從下到上的穿好了由大到小的64塊金盤，這就是所謂的漢諾塔 - Hanoi Tower。

按照梵天的命令，不論白天黑夜，總有一個婆羅門僧侶在按照下面的規則移動這些金盤：一次只移動一個盤，不管在哪根柱上，小盤必須在大盤上面。僧侶們預言，當所有的金盤都從梵天穿好的那根柱上移到另外一根柱上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸于盡。

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17.1.1 求解

如下圖所示的5個盤的漢諾塔問題，其總任務是將A柱上的n = 5個盤移至C柱。要實現這個總任務并且保證移盤過程中小盤始終在大盤上面，整個過程分三步實現。第1步：我們必須先將n - 1 = 4個黑盤從A柱移至B柱。在第1步的執行過程當中，為了保證規則的貫徹，顯然，必須借助于C柱作為中轉柱才能完成。

第1步所做的工作可描述為：借助中轉柱C， 將n-1=4個盤從A移至B。

? 現在，最大的白盤在A柱上，C柱是空的。可實施第2步：將A柱上的大盤取下，移至C柱。

接下來，我們要做的是第3步: 借助中轉柱A，將B柱上的n - 1 = 4個盤移至C柱。此時，C柱上雖然已經有了一個盤，但由于此盤是最大的，所以只要移動過程中不搬動C柱上的原有大盤，可以忽略其存在。

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現在，我們試圖總結一下總任務及其三個子任務：

總任務: 將 n = 5個盤從A柱移至C柱，以B柱為中轉柱

不難看出，除了柱子不同，子任務3同子任務1所做的工作是一樣的，都是把 n - 1 個盤從一個柱移至另一個柱。同時，子任務1，3與總任務之間也極其相似，除了需要移動的盤子數量差異外。

我們稱，將n - 1個盤子從A移至B的漢諾塔問題，與原問題 - 即“將n個盤子從A移至C的漢諾塔問題”的性質完全相同，區別僅在于問題的規模 - 需要移動的盤子數量稍小。我也稱為前者是原問題的子問題。

如果我們能將n - 1 = 4個盤子從A移至B，從B移至Ｃ，那么n = 5個盤子的漢諾塔問題可解。那么如何求解4個盤子的漢諾塔問題呢？ 聰明的讀者已經有了答案。

子問題: 將 n’ = 4個盤從A柱移至B柱，以C柱為中轉柱

? 下面的圖展示了這一過程：

上面的分析可以看出，5盤漢諾塔問題可以通過求解4盤漢諾塔問題來解決，4盤漢諾塔問題可以通過求解3盤漢諾塔問題來解決。同理，3盤漢諾塔問題可以通過求解2盤漢諾塔問題來解決，2盤漢諾塔問題可以通過求解一盤漢諾塔問題來解決。而一盤漢諾塔問題，由于問題的規模足夠小，可直接解決：把盤從原柱搬至目標柱即可。所以在前表中，我們稱其為“簡單任務”。

17.1.2 遞歸算法

根據前一小節描述的算法思想，我們可以寫出漢諾塔問題求解的遞歸算法。

#BasicHanoi.py def hanoi(n, a, b, c):if n == 1:movements.append(a + " --> " + c)else:hanoi(n - 1, a, c, b)movements.append(a + " --> " + c)hanoi(n - 1, b, a, c)movements = [] hanoi(5, 'A', 'B', 'C') print("Steps count:",len(movements)) print("The first 3 steps are:", movements[:3])

函數hanoi(n,a,b,c)用于生成以b為中轉柱，將n個金盤從a移至c的移盤序列?？梢钥吹?#xff0c;這個遞歸函數的執行過程跟前節的總任務-子任務分解完全一致。當n == 1時，只有一個盤子，簡單任務，直接移盤。如果n > 1，則分解為兩個 n - 1 的漢諾塔子問題，以及一個簡單移盤任務。子問題的求解以函數遞歸調用來解決。

上述代碼的執行結果如下：

Steps count: 31 The first 3 steps are: ['A --> C', 'A --> B', 'C --> B']

上述結果表明，5盤漢諾塔問題共需要31次移盤。movements列表中按順序存儲了全部的移盤動作。

17.1.3 計算復雜性

使用前小節中的程序，作者嘗試計算了n = 5 … 12漢諾塔問題的移盤過程，得到下述移盤次數。

看起來，似乎n個盤的漢諾塔問題的移盤次數為2n-1。事實上，對移盤次數的數學分析可以證明這個結論。n盤的漢諾塔求解可以拆分成兩個n-1盤的漢諾塔求解再加上1次簡單移盤。如果用T(n)來表示n盤漢諾塔的移盤次數的話，函數T(n)可使用下述遞歸定義。

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我們試著把遞歸函數消解成非遞歸函數。

令t = n - 1，有：

故n盤漢諾塔共需移盤2n-1次。那么，如果梵天規定的是64個金盤的話，總移動次數則為264-1 = 18446744073709551615。如果婆羅門僧侶是個熟練工，1秒挪一個盤，那么1小時可以移3600個盤，1年可移3600 x 24 x 365 = 31536000個盤(忽略閏年誤差）。那么，解64盤漢諾塔問題共需要(264-1)/31536000年，即大約5949億年?？雌饋?#xff0c;按照當前的人類知識，印度的古老智慧好像高估了地球的預期壽命。

讀者不要去嘗試計算hanoi(64,’A’,’B’,’C’)，顯然，在你有限的人生里，是無法完成這件接近“無限”的大事的。而且，因為遞歸所導致的內存消耗，你有限的計算機內存也排除了這種可能性。

作者是無神論者，上述探討基于嚴謹的數學，作者不相信任何人格化的“上帝 ”。

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Python編程基礎及應用 重慶大學 高等教育出版社，作者親授_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili?www.bilibili.com

總結

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