一日不見如隔三秋，本人覺得有界變差函數是實變函數中最容易理解且和高等數學聯系最緊密的一個概念，其在概率論中也有非常廣泛的應用，也和勒貝格空間有著千絲萬縷的聯系。

什么叫有界變差函數？若在區間(a，b)中，函數f(x)能夠表成Φ(x)一Ψ(x)的形狀，而Φ與Ψ都是非減有界函數，則稱f(x)在(a，b)中是有界變差的。易見兩個界變差函數的和、差與積也都是有界變差的。這是若爾當分解定理的定義，當然還有別的定義。

轉自曹廣福博客，侵權聯系刪除。

有界變差函數的全變差有著不少與積分類似的特征。初看此定義似乎與分布函數風馬牛，然而你若仔細考察一下分布函數的特征就會發現，分布函數是(-∞，+∞)上取值不超過1的單調遞增的非負右連續函數，顯而易見，任何閉區間上的單調遞增函數是有界變差函數，所以分布函數是任意有限閉區間上的有界變差函數。

為啥要引入這個有點莫名其妙的有界變差函數？說來話長，它最早是Jordan為了研究曲線長度引進的。如果你學過微積分的話，你該知道，當一個函數連續可微時，是可以利用Riemann積分計算它的弧長的，還記得弧長公式嗎？閉區間上是否只有連續可微函數的曲線才是可求長的呢？或者說，如果一條曲線是某個函數的圖像，它可求長的充要條件是什么？這個條件正是有界變差函數。當然，如果有界變差函數僅僅充當了保證曲線可求長的角色，它也就沒有如此大的魅力了。與有界變差函數相關的另一個重要問題是Newton-Leibniz公式成立的充要條件是什么？不難找到這樣的反例：一個函數即使幾乎處處可導，其導函數未必可以還原這個函數，換句話說，Newton-Leibniz公式可能不成立，這就引出了另一類更特殊的函數：絕對連續函數。

從有界變差函數過度到絕對連續函數在邏輯上是自然的，沒有任何困難，以Newton-Leibniz公式成立與否作為媒介就可以。但大多數的教材并沒有將有界變差函數的來龍去脈交代清楚，往往注重在證明的細枝末節上，所以需要重點講清楚如下幾個問題：

1、為什么會出現有界變差函數？這個問題在上面已經做了簡單介紹。

2、有界變差函數與分布函數之間的關系是什么？實際上有界變差函數中真正難以處理的部分是奇異部分，即導數幾乎處處等于0的函數，例如(-∞，+∞)上最大值為1的非負右連續階躍函數就是個奇異分布函數。如果所有的分布函數都可以寫成Riemann積分或Lebsgue積分的形式，也許概率論就不需要測度論了，但老天爺總是愛捉弄人，很多時候必須“將簡單問題復雜化”。搞清楚有界變差函數的結構，分布函數的結構自然就清楚了。

3、有界變差函數的結構性分解。分解包括兩類，一類是Jordan分解，即任何有界變差函數可以分解成兩個單調遞增函數之差；另一類是Lebesgue分解，即任何有界變差函數都可以分解成絕對連續函數與奇異函數之差。Jordan分解定理沒有多少難度，但Lebsgue分解的證明有技術上的難度，可以結合直觀分析進行。有界變差函數的Lebsgue分解是抽象測度的Lebsgue分解定理的基礎，講不清楚這個分解，就很難搞清楚抽象測度的Lebsgue分解定理的本質，也難以理解為什么要定義Lebsgue-Stiljes積分。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的单调有界定理适用于函数吗_《实变函数》——论有界变差函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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