其實參考鏈接中已經(jīng)解釋的很好了，這篇博客主要就是為了碼一下別人的博客。鏈接1、2里面不僅有關于齊次坐標的解釋，還有很多其他的計算機圖像的知識點，鏈接2還做了很多《冰與火之歌》的彩蛋。

在平常數(shù)學運算中，我們一般使用笛卡爾坐標，但是在計算機圖形學中使用的更多的是齊次坐標（Homogeneous Coordinates）。數(shù)學里，齊次坐標（homogeneous coordinates），或投影坐標（projective coordinates）是指一個用于投影幾何里的坐標系統(tǒng)，如同用于歐氏幾何里的笛卡兒坐標一般。該詞由奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯于1827年在其著作《Der barycentrische Calcul》一書內(nèi)引入齊次坐標有三大優(yōu)點。

一，還可以表示無窮遠處的點。在歐式空間（Euclidean space）或者笛卡爾空間（Cartesian space）中，平行線是無法相交的，但是真實世界中因為透視關系，平行的鐵軌在無窮遠處也可以相交。而歐式空間中的坐標沒有意義，所以齊次坐標就出現(xiàn)了。齊次坐標可以用維的坐標表示笛卡爾坐標系中維的坐標。齊次坐標對應笛卡爾坐標，是縮放系數(shù)。這樣當取，就可以表示笛卡爾坐標系中的無窮大，對應無窮點（points at infinity）。一般的，取，得到歸一化的齊次坐標。是齊次坐標，被稱為增廣矢量（augmented vector）。

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二，齊次坐標可以區(qū)分點和向量。計算機圖形學(OpenGL版)》的作者F.S. Hill Jr. 寫到：齊次坐標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區(qū)分向量和點，同時也更易用于進行仿射（線性）幾何變換[98]。在笛卡爾坐標系中的一個坐標，我們無法判斷它表示的是一個點還是一個從原點指向該點的向量。齊次坐標因為有一個冗余的維度（縮放系數(shù)），可以作為標志位，當它取1時表示坐標點，當它為0時表示向量。這是因為表達一個點比一個向量需要額外的信息：

三，齊次坐標允許平移、旋轉(zhuǎn)、縮放和透視投影表示為矩陣與向量相乘的運算，而使用笛卡爾坐標，平移和透視投影不能表示成矩陣相乘。仿射變換其實就是線性變換（旋轉(zhuǎn)縮放）與平移的疊加。笛卡爾坐標系不能用乘法表示仿射變換主要是因為平移變換。現(xiàn)在利用齊次就可以將平移變換中的矩陣相加轉(zhuǎn)換為矩陣相乘：

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至于為什么叫齊次，這是因為齊次坐標與笛卡爾坐標不是一一對應的。只要前n個分量與縮放系數(shù)的比例相同就會映射到同一個笛卡爾坐標，即對齊次坐標每一個分量同等進行縮放，都表示的是笛卡爾坐標系中的同一個點，這就是尺度不變性（Scale Invariant），也就是齊次。谷歌翻譯Homogeneous是“同質(zhì)”的意思，百度翻譯結(jié)果是“均勻的;同性質(zhì)的。這里寫作齊次。而之前學習的單應矩陣中單應英文單詞是Homography，指的是點與點一一對應。他們共同使用詞根homo，意為“相同的”。

注意：

三元組 (0, 0, 0) 不表示任何點。原點表示為 (0, 0, 1)

Reference：

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http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html

冰與火之歌https://oncemore.wang/blog/homogeneous/

https://www.cnblogs.com/xin-lover/p/9486341.html

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的齐次坐标，怎么你也叫Homogeneous的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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