容斥原理---概念介紹

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容斥原理是一種基本的計數工具。

假設我們有N個對象的集合A，設a1, a2,…, ar是這些對象可能有的性質的集合，設N(ai )是有性質ai的對象數目。一個對象可能有若干個所討論的性質（或一個性質也沒有）。設N(a’i )計數沒有性質ai的對象數目。這時，我們有

N = N( ai ) + N( a’i).

因為一個對象可能有多個性質，所以計數既有性質ai又有性質aj的對象數目很有用。這一數目記為N(ai ?aj). 既沒有性質a 又沒有性質a 的對象數目記為N(a’i? a’j)，有性質aj 但是沒有性質ai的對象數目記為N(a’iaj )。

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我們為N(a’1?a’2 ?a’3 )開發容斥原理，這是既沒有性質a1又沒有性質a2也沒有性質a3的對象數目。這一原理的解釋參見下面的韋恩圖：

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首先我們使A包容所有的對象（數目總共為N），然后，我們排除那些有性質a1的所有對象，有性質a2的所有對象，有性質a3的所有對象。因為某些對象可能有多個性質，所有我們有必要加回被過多排斥掉的對象，我們加回（包容）有兩個性質的對象，這些對象對應于上圖的粉紅、黃色、綠色區域，這時我們又多加回了若干對象，即有三個性質的那些對象，這些對象對應于上圖中深紅色區域，這些對象必須被排除。 對這一推理的結果加以公式化，我們得到下面的公式：

N(a’1a’2 a’3) = N – N(a1) - N(a1)- N(a1)

????????????? + N(a1 a2) +N(a1 a3) + N(a2 a3)

????????????? -N(a1 a2 a3)

一般的，沒有任意r個性質的對象數量都可以通過擴展上面公式得到。這一公式稱為容斥原理（principleof inclusion and exclusion）。

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定理：容斥原理

如果N是集合A中的對象的數量，集合A中沒有性質a1,a2, …, ar 的對象數量由下式給出:

N(a’1a’2...a’r)= N – ΣiN(ai)

?????????? +Σi != jN(ai aj)

?????????? -Σi,j,k互不相同N(aiajak)

?????????? +(-1)rN(a1a2…ar)

上式中，第一個和是對所有取自{1,2,..,r}的i求和，第二個和是對所有無序對{i,j}求和，其中i和j取自{1,2,..,r}，i!=j。第三個和是對于無序三元組{i ,j,k}求和，其中i ,j,k取自｛1，2，..r｝，i ,j,k互不相同。一般項是(-1)t乘以形如N(a1 ,a2 ,…,ar )的項的和，其中這種形式的和是對于所有無序t元組{i1 ,i2 ,…,it}求和，而i1 ,i2 ,…,it取自｛1，2，..，r｝，且i1 ,i2 ,…,it互不相同。

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全部選自《應用組合數學(Applied Combinatorics)》原書第二版，Fred S.Roberts Barry Tesman著，馮速 譯

原書第七章

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的容斥原理---概念介绍的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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