轉載自：http://blog.csdn.net/linhuanmars/article/details/22126357

原題鏈接:?http://oj.leetcode.com/problems/unique-paths/?

這道題是比較典型的動態規劃的題目。模型簡單，但是可以考核動態規劃的思想。

我們先說說brute force的解法，比較容易想到用遞歸，到達某一格的路徑數量等于它的上面和左邊的路徑數之和，結束條件是走到行或者列的邊緣。因為每條路徑都會重新探索，時間復雜度是結果數量的量級，不是多項式的復雜度。代碼如下：?

[java]?view plaincopy

public?int?uniquePaths(int?m,?int?n)?{??

????return?helper(1,1,m,n);??

}??

private?int?helper(int?row,?int?col,?int?m,?int?n)??

{??

????if(row==m?&&?col==n)??

????????return?1;??

????if(row>m?||?col>n)??

????????return?0;??

????return?helper(row+1,col,m,n)+helper(row,col+1,m,n);??

}??

上面的代碼放到LeetCode中跑會超時，因為不是多項式量級的。其實上一步中遞推式已經出來了，就是res[i][j]=res[i-1][j]+res[i][j-1]，這樣我們就可以用一個數組來保存歷史信息，也就是在i行j列的路徑數，這樣每次就不需要重復計算，從而降低復雜度。用動態規劃我們只需要對所有格子進行掃描一次，到了最后一個得到的結果就是總的路徑數，所以時間復雜度是O(m*n)。而對于空間可以看出我們每次只需要用到上一行當前列，以及前一列當前行的信息，我們只需要用一個一維數組存上一行的信息即可，然后掃過來依次更替掉上一行對應列的信息即可（因為所需要用到的信息都還沒被更替掉），所以空間復雜度是O(n)（其實如果要更加嚴謹，我們可以去行和列中小的那個，然后把小的放在內層循環，這樣空間復雜度就是O(min(m,n))，下面的代碼為了避免看起來過于繁雜，就不做這一步了，有興趣的朋友可以實現一下，比較簡單，不過代碼有點啰嗦）。實現的代碼如下： [java]?view plaincopy

public?int?uniquePaths(int?m,?int?n)?{??

????if(m<=0?||?n<=0)??

????????return?0;??

????int[]?res?=?new?int[n];??

????res[0]?=?1;??

????for(int?i=0;i<m;i++)??

????{??

????????for(int?j=1;j<n;j++)??

????????{??

???????????res[j]?+=?res[j-1];??

????????}??

????}??

????return?res[n-1];??

}??

上面的方法用動態規劃來求解，如果我們仔細的看這個問題背后的數學模型，其實就是機器人總共走m+n-2步，其中m-1步往下走，n-1步往右走，本質上就是一個組合問題，也就是從m+n-2個不同元素中每次取出m-1個元素的組合數。根據 組合 的計算公式，我們可以寫代碼來求解即可。代碼如下： [java]?view plaincopy

public?int?uniquePaths(int?m,?int?n)?{??

????double?dom?=?1;??

????double?dedom?=?1;??

????int?small?=?m<n??m-1:n-1;??

????int?big?=?m<n??n-1:m-1;??

????for(int?i=1;i<=small;i++)??

????{??

????????dedom?*=?i;??

????????dom?*=?small+big+1-i;??

????}??

????return?(int)(dom/dedom);??

}??

上面的代碼求解了組合的結果，只需要做一次行或者列的掃描，所以時間復雜度是O(min(m,n))，而空間復雜度是O(1)。比起上面的兩種解法更優。不過這里有個弊端，就是如果代碼中的dom和dedom如果不是double，而是用int，那么會很容易越界，因為這是一個階乘，所以大家在面試中討論這種方法要注意和提及越界的問題。
上面介紹了幾種方法來求解這個問題，其實都是比較簡單的模型，只是提供了不同的思路。 Unique Paths II 是這道題的擴展，給機器人增加了障礙，有興趣的朋友可以聯系一下。 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Leetcode unique-paths的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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