2. 圖像的幾何變換

圖像幾何變換是指用數學建模的方法來描述圖像位置、大小、形狀等變化。圖像幾何變換是圖像處理及分析的基礎。

• 圖像的幾何變換包括：圖像平移、比例縮放、旋轉和圖像插值。

• 圖像幾何變換的實質：改變像素空間位置或估算新空間位置上的像素值。

• 圖像變換的一般表達式：[u,v] = [X(x,y),Y(x,y)]

  • 其中[u,v]為變換后圖像像素的笛卡爾坐標，[x,y]為原始圖像中像素的笛卡爾坐標。這樣就得到了原始圖像變換后圖像的像素的對應關系。
  • 如果說 X(x,y)=x, Y(x,y)=y, 則有[u,v]=[x,y]，即變換后圖像僅僅是原圖像的簡單拷貝。

2.1 平移變換

若圖像像素點 [x,y] 平移到 [x+x₀，y+y₀]，則變換函數為：

• u = X(x,y) = x+x₀
• v = Y(x,y) = y+y₀

其中，x₀ 和 y₀ 分別是 x和y的坐標平移量。

寫成矩陣表達式為：

2.2 比例縮放

若圖像坐標 [x,y] 縮放到 (S_x，S_y) 倍，則變換函數為：

• u = S_x x
• v = S_y y

其中，S_x，S_y 分別為x和y坐標的縮放因子，其中大于1表示放大，小于1表示縮小。

寫成矩陣表達式為：

2.3 旋轉變換

將輸入圖像繞笛卡爾坐標系的原點逆時針旋轉 θ 角度，則變換后圖像坐標為：

圖像旋轉變換示例：

2.4 仿射變換

放射變換是一種二維坐標到二維坐標之間的線性變換，可保持二維圖形的“平直性”和“平行性”。

• 平直性：一條直線在仿射變換后，仍然是一條直線，不會把它映射成一個圓弧或者其他的。
• 平行性：兩條平行的直線，在放射變換后仍然是平行的，不會相交。

仿射變換的一般表達式為：

平移、比例縮放和旋轉變換都是一種稱為仿射變換的特殊情況。

上式可以表示成如下的線性表達式

設定加權因子 a_i 和 b_i 的值，可以得到不同的變換。例如，當選定 a₂ = b₁ = 1 ， b₂ = -0.1 ，

a₁ = a₀ = b₀ = 0，這種情況是圖像剪切的一種情況。

仿射變換也可以用 3*3 的矩陣來表示：

仿射變換具有如下性質：

1）放射變換只有6個自由度（對應變換的6個系數），因此，仿射變換后互相平行的直線仍然為平行直線，三角形映射后仍然是三角形。但卻不能保證將四邊形以上的多邊形映射為等邊數的多邊形。

2）仿射變換的乘積和逆變換仍是放射變換。

2.5 透視變換

與之前仿射變換不同，透視投影按照從投影中心這一點發出的直線將物體投影到平面。

透視變換也是一種平面映射，稱為透視變換，也稱為投影映射，其表達式為：

并且可以保證任意方向上的直線經過透視變換后仍然保持直線。

透視變換具有9個自由度（其變化系數為9個），故可以實現平面四邊形到四邊形的映射。

圖例：

2.6 插值

灰度插值

1）最近鄰插值法：也稱作零階插值，也就是令變換后的像素的灰度值等于距它最近的輸入像素的灰度值。

基于最近鄰點概念的灰度級插值。

特點：計算簡單。但當圖像中的像素灰度級有細微變換時，該方法會在圖像中產生人工的痕跡。比如，輕微的馬賽克現象。

2）雙線性插值也稱作一階插值：

該方法通常是沿圖像矩陣的每一列（行）進行插值，然后對插值后所得到的矩陣再沿著行（列）方向進行線性插值。

特點：當對相鄰四個像素點采用雙線性插值時，所得表面在鄰域處吻合的，但斜率不吻合。并且雙線性灰度插值的平滑作用可能使得圖像的細節產生退化，這種現象在進行圖像放大是尤其明顯。

3）卷積插值法：當圖像放大時，圖像像素的灰度值插值可以通過卷積來實現，即，將輸入圖像兩行兩列中間插零值，然后通過低通模板濾波。

一般低通模板有：

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的图像处理 --- 三、图像变换 3.2 图像的几何变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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