本系列博文是對研一課程《模式識別與機器學習》的隨堂筆記，希望將老師所講的與自己的見解記錄下來，方便加深自己的理解以及以后復習查看，筆記完全按照老師所講順序，歡迎交流。

一、模式識別與機器學習的基本問題

機器學習主要解決以下四類問題：
1.監督學習：指的是訓練的數據既包括特征（feature）又包括標簽（label），通過訓練，讓機器可以自己找到特征和標簽之間的聯系，在面對只有特征沒有標簽的數據時，可以判斷出標簽。監督學習主要分為兩類，分別為回歸問題（Regression）與分類問題（Classification）。回歸問題的目標是通過對已有數據的訓練擬合出恰當的函數模型，分類問題的目標是通過分析數據的特征向量與對應類別標簽的關系，對于一個新的特征向量得到其類別。兩者的區別是回歸針對連續數據，分類針對離散數據。

2.非監督學習：指的是在未加標簽的數據中，找到隱藏的結構，由于提供給學習者的實例是未標記的，因此沒有錯誤信號（損失）來評估潛在的解決方案。典型的非監督學習類型包括聚類（Cluster）、隱馬爾可夫模型、使用特征提取的技術降維（主成分分析）。

3.半監督學習：所給的數據有的是有標簽的，而有的是沒有標簽的，試圖利用大量的未標記示例來輔助對少量有標記示例的學習，常見的兩種半監督的學習方式是直推學習（Transductive learning）和歸納學習（Inductive learning）。

4.強化學習（Reinforcement learning）：指的是機器以“試錯”的方式進行學習，通過與環境交互獲得獎賞指導行為，目標是使機器獲得最大的獎賞。強化學習中由環境提供的強化信號對產生動作的好壞作評價，而不是告訴機器如何去產生正確的動作。

二、多項式曲線擬合（Polynomial Curve Fitting）實例

本課程講述的機器學習算法多為監督學習算法和非監督學習算法，此處用多項式曲線擬合的例子來簡述監督學習的過程，作為全文開篇的算法來講解機器學習的共通性。

1.問題描述

輸入變量：x ，目標變量：t ， 生成過程：實際問題中是未知的 ， 給定訓練樣本：x，t

前文講述過監督學習是指訓練的數據既包括特征，又包括標簽。在本例中，輸入變量x即為數據特征，目標變量t即為標簽，我們給定訓練樣本:x，t。生成過程也就是我們將使用的帶有參數的待擬合模型（實際問題中是未知的，需要根據人為的經驗選取合適的模型），本例中采用的模型為多項式模型，公式如下，

我們的目標是當給定新的x值時，能夠通過此模型預測t的值，也就是說，我們需要利用給定的訓練樣本，估計模型中的參數w。如何計算出最佳的w值？采用誤差平方和最小的原理，即

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2.求解問題

問題中，參數w的個數M是模型的關鍵，我們假定有10個訓練樣本，分別取M=0，1，3，9來觀察模型的擬合情況。

當M=0，1時，模型的效果很差，很多點不在曲線上；當M=3時，模型效果良好，紅色線與綠色線基本一致；當M=9時，雖然所有訓練數據均在曲線上，但模型效果極差，紅色線與綠色線差別極大（10個方程，9個未知數，相當于模型有確定的解），這種情況稱為過擬合（Over-fitting），與之相對應的是欠擬合（Under-fitting）。我們對M取值的不同情況進行考察，得到如下的結果，

此處的$E_{RMS}$為均方誤差（root-mean-square），

當M=9時，此時的訓練誤差很小（為零），而測試誤差很大，這種情況我們稱為過擬合；相對應的，欠擬合是由于訓練量少導致的訓練誤差很大的情況。可見，當參數數量很多時，接近或超過訓練數據的數量，會導致過擬合，也就是說，模型復雜度越高過擬合越容易發生。對于一個模型來說，如果它能夠對沒見過的數據做出預測，我們就說它能夠從訓練集泛化到測試集，我們的目標是構造出泛化精度盡可能高的模型。在欠擬合與過擬合間存在一個最佳泛化模型，

上述是采用10個訓練樣本和9個模型參數的情況，我們嘗試增加訓練樣本的數量，觀察訓練結果，

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我們發現，訓練樣本數量越多，模型的擬合效果越好，同時解決了過擬合的問題，說明增加數據集有效地解決了模型復雜度過高導致的過擬合問題。由此可以看出，模型復雜度與訓練集輸入的變化密切相關，當我們選擇模型時，數據集中包含的數據點的變化范圍越大，在不發生過擬合的前提下可以使用的模型就越復雜。

觀察訓練后的模型參數，發生過擬合情況下的參數往往非常大，原因是擬合函數需要考慮每一個訓練樣本點，最終形成的擬合函數波動很大，在某些很小的區間里函數值的變化很劇烈，意味著在某些區間的函數導數值的絕對值會非常大，只有參數（系數）足夠大，導數的絕對值才能更大。

為了約束參數的范圍，采用正則化 的方法，可以在一定程度上減少過擬合的情況。

在損失函數尾部所加的計算式即為正則項，直觀上來看正則項緩解了$w$的變化，可以假設當$E(w)$有同樣的$\Delta E(w)$時，由于正則項始終為正，分擔了一部分的$E(w)$的變化，相對于不加上正則項，減緩了由于原損失函數項$C_0$導致的$w$的變化（個人理解）。嚴格的數學推導如下，

$C$為添加正則項后的損失函數，采用梯度下降法進行求解，

其中，$\eta 、\lambda 、n$都是正的，所以 $1?\eta \lambda /n$小于1，它的效果是減小$w$（直接減小了$w$的值，防止過大或過小，限制$w$的范圍）。
$\lambda$是超參數，需要人為設置，當$\lambda =0$時相當于不加入正則項，設置不同的$\lambda$有如下不同的結果，

模型參數值如下，

正則化有效的緩解了模型的過擬合問題，解決途徑：添加正則項→限制參數→解決過擬合。

未完待續

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模式识别与机器学习笔记（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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