本文本來(lái)是想放在Borsuk-Ulam定理的應(yīng)用這篇文章當(dāng)中。但是這個(gè)文章實(shí)在是太長(zhǎng)，導(dǎo)致有喧賓奪主之嫌，從而獨(dú)立出為一篇文章，僅供參考。$\newcommand{\di}{\mathrm{dist}}$

（圖1：Kneser敘述他的猜想原文手稿）

?引理1（Borsuk-Ulam）

對(duì)于任意$f:S^n\to\mathbb{R}^n$連續(xù)，存在$x\in S^n$使得$f(-x)=f(x)$。

目錄

• 1 Lyusternik-Shnirel'man定理與Greene定理
• 2 Kneser猜想與Greene的證明
• 3 Lovász的證明大意
• 4 Bárány的證明與Schrijver定理
• 5 Dol'nikov定理與超圖上的Kneser猜想
• 6 Matou?ek的組合證明以及推廣
• 7 拓?fù)浣M合的歷史注記
• 8 鳴謝與拓展閱讀

1.?Lyusternik-Shnirel'man定理與Greene定理

這個(gè)猜想的證明主要使用了Lyusternik與Shnirel'man版本的Borsuk-Ulam定理，它的具體表述如下：

?引理2（Lyusternik-Shnirel'man）

令$F_1,F_2,\cdots,F_{n+1}$為閉集，且其覆蓋住$S^n$,那么存在$F_i$包含對(duì)徑點(diǎn)（即$x,-x\in F_i$）。

證明：令映射$f:S^n\to \mathbb{R}^n$定義為$f(x)=(\di(x,F_1),\di(x,F_2),\cdots,\di(x,F_n))$。$\di(x,F)$代表了在$S^n$上點(diǎn)$x$與集合$F$用測(cè)地線連接的最短距離。那么存在$y\in S^n$使得$f(y)=f(-y)$。如果$f(y)_i=0$成立（即第$i$個(gè)分量為$0$）,那么由定義可知$-y\in F_i$(由于$F_i$閉)。如果任意$i\le n$都沒(méi)有$f(y)_i=0$,也就是$y,-y\in F_{n+1}$。$\square$

但是只是用閉集不能滿足我們的要求，我們還需要球用開(kāi)或閉集覆蓋：

推論3（開(kāi)集的LS定理）

令$F_1,F_2,\cdots,F_{n+1}$為開(kāi)集，且其覆蓋住$S^n$,那么存在$F_i$包含對(duì)徑點(diǎn)。

證明：我們只需要尋找到一個(gè)閉集族$\{U_i\}$，使得$U_i\subset F_i$且$\{U_i\}$也是$S^n$的覆蓋。這樣的$U_i$可以通過(guò)如此方法：對(duì)于任意$x\in S^n$且$x\in F_i$,我們?nèi)?N(x)$為$x$的開(kāi)鄰域，滿足閉包$\overline{N(x)}\subset F_i$。那么利用$S^n$是緊的，$\{N(x)\}_{x\in S^n}$必然有有限子覆蓋。我們只需要取子覆蓋中$F_i$對(duì)應(yīng)的$N(x)$閉包的并即可（這樣就有了$U_i\subset F_i$）。$\square$

?推論4（Greene）

令$F_1,F_2\cdots,F_{n+1}$為開(kāi)集或閉集且覆蓋$S^n$，那么存在$F_i$包含對(duì)徑點(diǎn)

證明：不妨設(shè)$F_1,F_2,\cdots,F_k$為閉集，剩下的是開(kāi)集。那么取$(F_i)_{\epsilon}$為$F_i$的$\epsilon$開(kāi)鄰域。那么$(F_1)_{\epsilon},\cdots,(F_k)_\epsilon,F_{k+1},\cdots,F_{n+1}$滿足推論3的條件。那么存在$x_i,-x_i$在某個(gè)集合里面。如果在$i\ge k+1$的開(kāi)集里面，那證明結(jié)束。如果不在，那么令$\epsilon\to 0$,$S^n$的緊性說(shuō)明就有收斂子列。利用$F_i$在$i\le k$是閉的可得結(jié)論。$\square$

2. Kneser猜想與Greene的證明

下面我們介紹一下Kneser圖$KG_{n,k}$。它節(jié)點(diǎn)的集合為$\binom{[n]}{k}$,即集合$[n]=\{1,2,\cdots,n\}$的$k$元子集。而兩個(gè)子集$S$與$S'$相連當(dāng)且僅當(dāng)$S\cap S'=\varnothing$。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是$KG_{5,2}$如下：

（圖2：$KG_{5,2}$即著名的Petersen圖）

1955年，Kneser提出了如下猜想：

猜想5（Kneser）

對(duì)于任意$k>0$以及$n\ge 2k-1$,我們有$\chi(KG_{n,k})=n-2k+2$,其中$\chi$為染色數(shù)。

首先我們可以注意到上界是簡(jiǎn)單的。我們只需要定義染色$c:\binom{[n]}{k}\to\{1,2,\cdots,n-2k+2\}$為\[c(S)=\min\{\min(S),n-2k+2\}\] 如果$c(S)=c(S')<n-2k+2$,那么$\min{S}$與$\min{S'}$有相同的最小元，顯然$S$與$S'$相交。而如果$c(S)=c(S')=n-2k+2$,根據(jù)抽屜原理它們還是有公共元素。因此$c$的確是圖的染色。$\square$

但是對(duì)于下界的證明并不是顯然的。1953年Lovász首次得到了這個(gè)猜想的證明。Lovász用到了大量的代數(shù)拓?fù)涔ぞ?#xff0c;比較復(fù)雜。而在2003年，還是本科生的Greene發(fā)現(xiàn)了其中的組合本質(zhì)，因此得到了如今廣為人知的簡(jiǎn)單證明。它因?yàn)檫@個(gè)美妙的證明而拿了當(dāng)年的Morgan獎(jiǎng)。

證明：考慮$KG_{n,k}$以及$d=n-2k+1$,那么令$X\subset S^d$為一族在一般位置的點(diǎn)，也即不存在$(d-1)$維的超平面上有$X$中的$d$個(gè)點(diǎn)。那么我們假設(shè)Kneser圖有節(jié)點(diǎn)$\binom{X}{k}$,對(duì)于任意$x\in S^d$,令函數(shù)\[H(x)=\{y \in S^d:\langle x,y\rangle>0\},\]也即在$x$所在的半球面上的點(diǎn)。

那么假設(shè)我們有對(duì)于$KG_{n,k}$的$d$染色，且定義集合$A_1,A_2,\cdots A_d\subset S^d$如下：$A_i$為$x\in S^d$，使得$H(x)$包含了某個(gè)被染色為$i$的集合$S\in\binom{X}{k}$中的所有點(diǎn)。且我們定義\[A_{d+1}=S^d\backslash(A_1\cup\cdots\cup A_d).\]

顯然有$A_i$在$i\le d$時(shí)候是開(kāi)集，因?yàn)樯晕⒆儎?dòng)一點(diǎn)，開(kāi)的上半球面還是會(huì)覆蓋住染色為$i$集合中的點(diǎn)，從而$A_{d+1}$是開(kāi)集。而由于上面的推論4，存在$i$使得$x,-x\in A_i$。如果$i\le d$,這表明存在$S$和$S'$不相交染了同樣的顏色，顯然不行。從而只能$x,-x\in A_{d+1}$。

但是對(duì)于這種情況，我們有$|H(x)\cap X|,|H(-x)\cap X|\le k-1$成立。但是這樣的話，$d-1$維的超平面$S^d\backslash (H(x)\cup H(-x))$就會(huì)包含$n-2k+2=d+1$個(gè)點(diǎn)，與假設(shè)的一般位置矛盾。$\square$

3.?Lovász的證明大意

這里我會(huì)大致寫(xiě)下Lovász證明到底說(shuō)了什么。這個(gè)證明是現(xiàn)代拓?fù)浣M合學(xué)的開(kāi)端。他的原始證明比較長(zhǎng)，這里就提一下梗概：

Step 1：構(gòu)造$G$的“鄰域單純形”$\mathcal{N}(G)$

每一個(gè)圖都有對(duì)應(yīng)的鄰域單純形。而領(lǐng)域單純形的定義是有公共鄰居的節(jié)點(diǎn)集合組成的單純形。比如說(shuō)這樣的圖：

（圖3：左圖是原圖$G$,右圖是單純形$\mathcal{N}(G)$的幾何實(shí)現(xiàn)）

我們可見(jiàn)，集合$\{1,2,5\},\{1,3,4\}$以及$\{2,3\}$是極大的單純形。而幾何實(shí)現(xiàn)即如右圖。$\{1,2,5\}$和$\{1,3,4\}$代表兩個(gè)三角形，而$\{2,3\}$則是直線。

Step 2: $\mathcal{N}(G)$是$n-$連通，那么它不是$n+2$可染色的。

我們可見(jiàn)上圖是$0-$連通，因?yàn)?0-$連通就是連通，而它不是$2-$可染色的。同時(shí)，它不是$1-$連通，因?yàn)?1\to2\to3\to1$構(gòu)成環(huán)。

由于圖的$(m+2)-$染色誘導(dǎo)了圖同態(tài)$G\to K_{m+2}$,其中$K_{m+2}$為完全圖。這個(gè)圖同態(tài)也就給出了拓?fù)淇臻g$\mathcal{N}(G)\to\mathcal{N}(K_{m+2})$的連續(xù)函數(shù)。很容易驗(yàn)證$\mathcal{N}(K_{m+2})$是一個(gè)$m-$維球。那么如果$\mathcal{N}(G)$是$n-$連通的，利用連續(xù)函數(shù)$\mathcal{N}(G)\to\mathcal{N}(K_{m+2})$我們就可以構(gòu)造出一個(gè)對(duì)徑的連續(xù)映射(antipodal map)$f:S^{n+1}\to S^m$(PS：這一步不是顯然的),其中利用$n\le m-1$可得矛盾。

Step 3：?驗(yàn)證$\mathcal{N}(KG_{n,k})$是$(n-2k-1)$連通的。

Lovász的證明是用拓?fù)鋵?duì)組合問(wèn)題進(jìn)行研究的開(kāi)端。而這篇文章體現(xiàn)了Borsuk-Ulam定理在拓?fù)浣M合這一新興學(xué)科中的重要應(yīng)用，并激勵(lì)了一大批人對(duì)拓?fù)浣M合問(wèn)題進(jìn)行研究，對(duì)于這一方法應(yīng)用的歷史沿革將附在最后（來(lái)自Longueville）。

4. Bárány的證明與Schrijver定理

其實(shí)Greene并不是第一個(gè)對(duì)Lovász的證明進(jìn)行改進(jìn)的人。早在1978年，Bárány就給出了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的證明，但是它利用了Gale 引理。該引理敘述如下：

引理6（Gale）

對(duì)于任意$d\ge 0$以及任意$k\ge 1$,存在包含$2k+d$個(gè)點(diǎn)的集合$X\subset S^d$，使得任意$S^d$的開(kāi)半球必包含$k$個(gè)$X$中的點(diǎn)。

（圖4：一種開(kāi)半球的分劃）

對(duì)于該引理的證明我們略去，但是這個(gè)引理能夠給出Kneser猜想的證明。

證明：對(duì)于$d=n-2k$,我們?nèi)?X\subset S^d$為滿足Gale引理的點(diǎn)集。那么假設(shè)我們有$(d+1)-$染色，同樣定義$A_i$為$x\in S^d$,使得$H(x)$包含了某個(gè)被染色為$i$的集合$S\in\binom{X}{k}$中的所有點(diǎn)。注意到這次我們可以定義$1\le i \le d+1$是因?yàn)槲覀內(nèi)旧?(d+1)-$染色。而由于Gale引理得知所有點(diǎn)都屬于某個(gè)$A_i$。但是再利用推論3，我們知道存在$x,-x\in A_i$。但這與Kneser圖的定義矛盾。$\square$

我們可見(jiàn)Bárány的證明雖然利用了Gale引理，但是它同樣可以用在其他一些集合上。比如說(shuō)Schrijver圖。有如下定義：

定義7（Schrijver）

定義一個(gè)集合$S\subset [n]$是$2-$穩(wěn)定($2-$stable)的，如果$k\in S$,那么對(duì)于$\forall l\in S$,$2\le|l-k|\le n-2$。而定義Schrijver圖$SG(n,k)$為所有穩(wěn)定的集合$S$給出的Kneser圖。

顯然我們可以發(fā)現(xiàn),$SG(n,k)$為$KG(n,k)$的子圖。一個(gè)自然的想法就是，$\chi(SG(n,k))\overset{?}{=}n-2k+2$。而答案是肯定的，顯然上界成立，而下界的給出則是Ziegler對(duì)于Gale引理的加強(qiáng)：

引理8（Ziegler加強(qiáng)的Gale引理）

對(duì)于任意$d\ge 0$以及任意$k\ge 1$,存在包含$2k+d$個(gè)點(diǎn)的集合$X\subset S^d$，使得任意$S^d$的開(kāi)半球必包含$k$個(gè)$X$中的點(diǎn)。且這$k$個(gè)點(diǎn)的集合是$2-$穩(wěn)定的。

這個(gè)引理的證明可見(jiàn)Matou?ek書(shū)上的76頁(yè)。而有了這個(gè)引理，Bárány的證明可以很簡(jiǎn)單地就應(yīng)用到Schrijver圖上，且證明完全相同。

5. Dol'nikov定理與超圖上的Kneser猜想

?從上面的Schrijver圖我們可以看出，實(shí)際上我們可以對(duì)任何超圖定義它的Kneser圖,也即對(duì)于超圖$\mathcal{H}=(X,\mathcal{F})$,將$\mathcal{F}$中的元素看成節(jié)點(diǎn)，而$F_1,F_2\in \mathcal{F}$是相鄰的當(dāng)且僅當(dāng)$F_1\cap F_2=\varnothing$,我將其記為$KG(\mathcal{H})$。而這個(gè)Kneser圖也有類似的性質(zhì)。為了敘述這樣的結(jié)果，我們先看幾個(gè)定義：

定義9（超圖的$2-$染色）

我們稱超圖$\mathcal{H}=(X,\mathcal{F})$是$2-$可染色的如果存在映射$X\to \{1,2\}$（$1,2$看成點(diǎn)的顏色）,使得任意一個(gè)超邊都包含兩種顏色的點(diǎn)。

同時(shí)，我們可以定義"缺損$2-$染色數(shù)"($2-$colorablity defect)如下：

定義10(缺損$2-$染色數(shù))

\[cd_2(\mathcal{H})=\min\{|Y|:(X\backslash Y,\{F\in\mathcal{F}:F\cap Y=\varnothing)\mbox{是}2-\mbox{可染色的}\}\}\]

也就是超圖$\mathcal{H}$至少去掉多少點(diǎn)（以及與這個(gè)點(diǎn)相連的超邊）能夠使它變成$2-$可染色的超圖。

?而這樣的Kneser圖有個(gè)比較好的性質(zhì)。

引理11（圖$G$的Kneser超圖實(shí)現(xiàn)）

任意一個(gè)圖$G$，都存在一個(gè)超圖$\mathcal{H}$,使得$KG(\mathcal{H})=G$。

證明：取圖的補(bǔ)圖，然后定義為補(bǔ)圖上的邊編號(hào)，將補(bǔ)圖上的編號(hào)賦予節(jié)點(diǎn)即可。如下是一個(gè)例子

（圖5：$A\to\{1,3\},B\to\{1,2\},C\to\{2\},D\to\{3\}$）$\square$

那么通過(guò)對(duì)Kneser圖的觀察（這里的Kneser圖看成$KG(\mathcal{H})$,其中$X=[n]$,$\mathcal{F}=\binom{[n]}{k}$），我們知道$cd_2(\mathcal{F})=n-2k+2$。這是由于如果去除$n-2k+2$個(gè)點(diǎn)，那么剩下$2k-2$個(gè)點(diǎn)只需要將$k-1$個(gè)點(diǎn)染成$1$,另外$k-1$個(gè)點(diǎn)染成$2$即可得到一個(gè)$2-$染色。而去除$n-2k+1$個(gè)點(diǎn)，根據(jù)抽屜原理，存在一個(gè)染色必然包含至少$k$個(gè)點(diǎn)。那么這$k$個(gè)點(diǎn)的超邊就不是$2-$染色了。

因此我們通過(guò)觀察就有了如下的結(jié)論：

定理12（Dol'nikov）

對(duì)于任意有限的超圖$\mathcal{H}=(X,\mathcal{F})$,我們有$\chi(KG(\mathcal{H}))\ge cd_2(\mathcal{F})$

?證明：證明使用到的就是類似Greene的方法。令$d=\chi(KG(\mathcal{H}))$,那么同樣將$X$與$S^d$上處于一般位置的$X$等同。同樣定義$A_i$如上，也即$x\in A_i$當(dāng)$H(x)$恰好包含了染色為$i$的超邊$F\in \mathcal{F}$。同時(shí)令$A_{d+1}=S^d\backslash(A_1\cup\cdots\cup A_d)$。

由于Greene定理，對(duì)于某$i$，存在$x,-x\in A_i$。若$1\le i\le d$,與Kneser圖染色矛盾，所以只能$i=d+1$。令$Y$為在赤道上節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。此時(shí)我們將$H(x)$中的節(jié)點(diǎn)染為顏色$1$,將$H(-x)$中節(jié)點(diǎn)染為顏色$2$。那么$X\backslash Y$即為$2-$可染色的。從而根據(jù)$|Y|\le d$可知\[cd_2(\mathcal{F})\le |Y|\le d=\chi(KG(\mathcal{H})).\quad \square\]

注記：通過(guò)引理11，我們就知道，任意一個(gè)圖我們都能夠通過(guò)這樣的方法找到它染色的一個(gè)下界！

對(duì)于一些特殊的超圖，我們是否有更一般的結(jié)論呢？對(duì)于前面我們定義超圖的$2-$染色，我們同樣也可以類似地定義超圖的$k-$染色。也即將$X$中的點(diǎn)染為$k$種顏色，使得每個(gè)超邊不是單色的。這樣我們就可以定義$\chi(\mathcal{H})$為超圖的染色數(shù)（即最小可以使超圖染色存在的$k$）。

同樣，對(duì)于Kneser圖，我們也可以推廣到Kneser超圖。

定義13（Kneser超圖）

$KG^r(n,k)=(X,\mathcal{F})$是超圖，其中$X=\binom{[n]}{k}$,而超邊的集合$\mathcal{F}$中為$r$個(gè)互不相交的$x\in X$組成。

從這里可以看出，我們?cè)瓉?lái)定義的Kneser圖$KG(n,k)$實(shí)際上就是$KG^2(n,k)$。我們同樣可以考慮Kneser超圖的染色數(shù)。Erd?s在1976年作出如下猜想：

猜想14（Erd?s的Kneser染色猜想）

\[\chi(KG^r(n,k))=\left\lceil \frac{n-(k-1)r}{r-1}\right\rceil\]

?該猜想已由Alon, Frankl和Lovász在1986年證明成立。他們的證明主要也用了代數(shù)拓?fù)涞慕Y(jié)論。而同理，我們也可以定義Schrijver圖的推廣。我們可以定義集合$S\subset[n]$為$s-$穩(wěn)定，如果對(duì)于任意不等的$i,j\in S$,有$s\le |i-j|\le n-s$。于是我們就可以定義$KG^r(n,k)_{s-\mathrm{stab}}$為限制在$s-$穩(wěn)定的集合上的Kneser $r-$超圖。對(duì)于Schrijver圖的結(jié)論以及Alon-Frankl-Lovász定理，自然地就有如下猜想

猜想15 （Alon-Drewnowski-?uczak）

\[\chi(KG^r(n,k)_{s-\mathrm{stab}})=\left\lceil \frac{n-(k-1)r}{r-1}\right\rceil\]

這個(gè)猜想現(xiàn)在還是一個(gè)開(kāi)放問(wèn)題。Ziegler首次證明了$\chi(KG^r(n,k)_{r-\mathrm{stab}})$與$\chi(KG^r(n,k))$相等，而Meunier證明了$\chi(KG^r(n,k)_{r-\mathrm{stab}}^\sim)$的染色數(shù)是猜想所述，其中$KG^r(n,k)_{r-\mathrm{stab}}^\sim$是限制在$|i-j|\ge s$這樣集合上的Kneser圖。

6.?Matou?ek的組合證明以及推廣

Matou?ek在2000年也給出了用Tucker引理的證明與一個(gè)純組合的證明。這個(gè)證明的思想被迅速推廣到上面很多定理的證明當(dāng)中，從而從眾多拓?fù)渥C明中脫穎而出，有令人耳目一新之感。如下是他證明的主要思想：

首先注意到Tucker引理可以有如下推廣：

引理16（八面體Tucker引理——Octahedral Tucker's lemma）

對(duì)于任意集合$A,B\in [n]$,且$A\cap B=\varnothing$,$A\cup B\not=\varnothing$,對(duì)于任意滿足$\lambda(A,B)=-\lambda(B,A)$,且值域是$\{+1,-1,+2,-2,\cdots,+(n-1),-(n-1)\}$的函數(shù)$\lambda$。存在兩個(gè)集合組$(A_1,B_1)$以及$(A_2,B_2)$,滿足$(A_1,B_1)\prec (A_2,B_2)$,且有$\lambda(A_1,B_1)=-\lambda(A_2,B_2)$。

其中$(A_1,B_1)\prec (A_2,B_2)$的意思是，$A_1\subset B_1$且$A_2\subset B_2$,且至少一個(gè)是真包含。

?這個(gè)引理的證明同樣略去，具體可見(jiàn)Matou?ek文章。而用此引理，Kneser猜想的證明就變得比較簡(jiǎn)單了。

定理5 （Matou?ek）Kneser猜想是正確的。(PS:標(biāo)記為5是因?yàn)镵neser猜想在本文中標(biāo)為5)

證明：假設(shè)$KG(n,k)$有一個(gè)染色，定義為$c:\binom{[n]}{k}\to\{1,2,\cdots,t\}$。那么定義函數(shù)如下：

\begin{align*}\lambda(A,B)=\left\{\begin{array}{ll}\pm(|A|+|B|)& \mbox{如果}|A|+|B|\le 2k-2\\ \pm (c(S)+2k-2) &\mbox{其他}\end{array}\right.\end{align*}

其中$A,B\subset [n]$互不相交,$S$同樣是$[n]$的子集，它有$k$個(gè)元素，且$S\subset A$或者$S\subset B$,滿足$c(S)$取得最小值。而在第一種情況，如果$\min(A)<\min(B)$，則取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。在第二種情況，如果$S\subset A$則取正號(hào)，$S\subset B$取負(fù)號(hào)。

若$t\le n-2k+1$,那么通過(guò)前面的八面體Tucker引理，存在$(A_1,B_1)\prec (A_2,B_2)$，使得$\lambda(A_1,B_1)+\lambda(A_2,B_2)$成立。但是由于若$|A_2|+|B_2|\le 2k-2$,則$||A_1|+|B_1||<|A_2|+|B_2|$。這樣就不能使$\lambda(A_1,B_1)+\lambda(A_2,B_2)=0$。所以$|A_2|+|B_2|>2k-2$。

但是如果$|A_1|+|B_1|\le 2k-2$,就有$|c(S)+2k-2|>2k-2\ge |A_1|+|B_1|$，只能也有$|A_1|+|B_1|>2k-2$。

但是通過(guò)第二種情況可以發(fā)現(xiàn)，存在$k$元集合$S_1,S_2$在不相交的集合中（因?yàn)榉?hào)相反），這與Kneser圖的染色矛盾，因?yàn)樗鼈冊(cè)贙neser圖中相連接。$\square$

這個(gè)證明是否巧妙地用Tucker引理給出了一個(gè)Kneser猜想的證明，主要就是用Tucker構(gòu)造出了兩個(gè)相鄰但是染色一樣的點(diǎn)。當(dāng)然，上面所展現(xiàn)的并不是Matou?ek原文，而是利用原文類似的想法由Meunier給出的。用這樣類似的證明，Ziegler在2004年首次給出了Schrijver定理的組合證明，但是證明中使用了有向擬陣(Oriented Matroid)，而且這個(gè)證明較長(zhǎng)。所以Meunier類似于前面的方法給出了Schrijver定理簡(jiǎn)短的證明。

定義17（交錯(cuò)長(zhǎng)$\mathrm{alt}$）

對(duì)于$A,B\subset [n]$,定義$\mathrm{alt}(A,B)$為最長(zhǎng)的單調(diào)增的數(shù)列$x_1,x_2,\cdots,x_l$,使得$x_i\in A\cup B$,且$x_i\in A$則$x_{i+1}\in B$;$x_i\in B$ 則 $x_{i+1}\in A$。

?比如說(shuō)$\mathrm{alt}(\{4\},\{1,6\})=3$,對(duì)應(yīng)著$1,4,6$這個(gè)數(shù)列；$\mathrm{alt}(\{2,3,5,11\},\{1,6,8,9,16\})=5$,對(duì)應(yīng)著$1,2,6,11,16$這個(gè)數(shù)列。

有了這一個(gè)工具，我們就可以得出以下的Schrijver定理：

定理18（Schrijver）

Schrijver圖染色數(shù)是$n-2k+2$

證明：假設(shè)$SG(n,k)$有一個(gè)染色，定義為$c:\binom{[n]}{k}\to\{1,2,\cdots,t\}$。那么定義函數(shù)如下：

\begin{align*}\lambda(A,B)=\left\{\begin{array}{ll}\pm(\mathrm{alt}(A,B))& \mbox{如果}\mathrm{alt}(A,B)\le 2k-1\\ \pm (c(S)+2k-1) &\mbox{其他}\end{array}\right.\end{align*}

情況與上面類似，$S$是$k$元子集$S\subset A$或者$S\subset B$,滿足$c(S)$取得最小值。而在第一種情況，如果$\min(A)<\min(B)$，則取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。在第二種情況，如果$S\subset A$則取正號(hào)，$S\subset B$取負(fù)號(hào)。

類似地，如果$t\le n-2k+1$且$(A_1,B_1)\prec (A_2,B_2)$,類似可以說(shuō)明，存在兩個(gè)互不相交的$S_1,S_2$被染上同樣的顏色。我們只需要驗(yàn)證在$\mathrm{alt}(A_2,B_2)\le 2k-1$的時(shí)候，有$\mathrm{alt}(A_2,B_2)+\mathrm{alt}(A_1,B_1)\not =0$。假設(shè)$x_1,x_2,\cdots,x_l$為$(A_2,B_2)$中最長(zhǎng)的交錯(cuò)列。且不妨設(shè)$x_1\in A_2$,那么$B_2$中最小元必然大于$x_1$,否則我們有了一個(gè)更長(zhǎng)的交錯(cuò)列。那么由于顯然有若$\mathrm{alt}(A_1,B_1)$與$\mathrm{alt}(A_2,B_2)$符號(hào)相反，則$\mathrm{alt}(A_1,B_1)$中最長(zhǎng)交錯(cuò)列第一個(gè)元素在$B_1$中,這表明$A_1$中沒(méi)有比$B_1$最小元更小的元素。但這樣我們就能夠構(gòu)造出$(A_2,B_2)$中更長(zhǎng)的一個(gè)交錯(cuò)列，因?yàn)?A_2$中有元素比$B_2$中元素要小，矛盾。所以只有$\mathrm{alt}(A_2,B_2)> 2k-1$,顯然這樣可見(jiàn)$\mathrm{alt}(A_1,B_1)> 2k-1$這樣就完成了證明。$\square$

我們類似地可以證明Dol'nikov定理，以下的證明來(lái)自Ziegler：

定理12（Dol'nikov）

對(duì)于任意有限的超圖$\mathcal{H}=(X,\mathcal{F})$,我們有$\chi(KG(\mathcal{H}))\ge cd_2(\mathcal{F})$

證明：類似地，假設(shè)$c:\mathcal{F}\to [t]$為染色，那么假設(shè)$cd_2(\mathcal{F})>t$,也即對(duì)于任意$[n]$中元素個(gè)數(shù)大于$n-t$的子集，對(duì)于任意對(duì)$X$的$2-$染色，存在一個(gè)$s\in\mathcal{F}$,使得$s$中的點(diǎn)全被染成相同的顏色。那么定義$\lambda$如下：

\begin{align*}\lambda(A,B)=\left\{\begin{array}{ll}\pm(t+|A|+|B|)& \mbox{如果}|A|+|B|\le n-t-1\\ \pm (c(S)) &\mbox{其他}\end{array}\right.\end{align*}其中第一個(gè)式子在$\min(A)<\min(B)$時(shí)候取正，其他取負(fù)。而第二個(gè)式子在$S\subset A$取正，其他取負(fù)。$S$類似上面，同樣是使$c(S)$最小的$S$。

顯然這樣的映射滿足八面體Tucker引理的條件。同時(shí)通過(guò)類似的說(shuō)明（這里就不再耗費(fèi)時(shí)間講述了）可以構(gòu)造出$S_1,S_2$使得互不相交但是染了同樣的顏色，矛盾。$\square$

Matou?ek的組合證明又提出了一個(gè)新的思路：通過(guò)拓廣Tucker引理以及構(gòu)造合適的函數(shù)（利用反證法給出的條件可以說(shuō)明要滿足值域在$\pm [n]$中，通過(guò)Kneser圖的定義給出矛盾），我們就可以得到一系列的類似的定理。特別地，我們前面所提到的$\chi(KG^r(n,k)_{r-\mathrm{stab}}^\sim)$就是一個(gè)沒(méi)有拓?fù)渥C明而只有組合證明的例子，其中用的工具就是所謂的$\mathbb{Z}_p-$Tucker引理。在此我們略去它的說(shuō)明。

7.拓?fù)浣M合的歷史注記

以下基本來(lái)自于Longueville對(duì)于Kneser猜想所著的文章“25 years proof of the Kneser conjecture”

(1)拓?fù)涞膽?yīng)用

在前面提到過(guò)，在組合中使用拓?fù)涔ぞ邅?lái)源于Lovász對(duì)于Borsuk-Ulam定理純熟的應(yīng)用。也許Borsuk-Ulam定理最好的一個(gè)推廣來(lái)自于Albrecht Dold在1983年的定理：

定理19（Dold）

令$G$為非平凡的有限群，自由作用在（形態(tài)較好的）空間$X$與$Y$上。假如$X$是$n-1$-連通，且$Y$的維數(shù)是$m$,那么如果存在$G-$等價(jià)的映射，那么$m\ge n$。這里$G-$等價(jià)意思是,$\forall g\in G$,$f(g\cdot x)=g\cdot f(x)$

如果將$G$看成對(duì)徑映射，$X,Y$分別是$S^n$與$S^m$就得到了我們一般的Borsuk-Ulam定理的一個(gè)等價(jià)描述。這樣的定理可以用在很多組合的問(wèn)題之上。

隨著時(shí)代的發(fā)展，代數(shù)拓?fù)渲械墓ぞ呋径荚诮M合中找到了它們自己的位置。從同調(diào)到上同調(diào)，示性類到譜序列，都有了組合上的應(yīng)用，比如Dmitry Kozlov所著的"圖同態(tài)的復(fù)形"。甚至微分拓?fù)渫瑯佑性诮M合中的對(duì)應(yīng)，比如Robin Forman提出的"離散Morse理論"。

對(duì)于這些方法的應(yīng)用有很多。最引人注目的就是“圖染色問(wèn)題”。現(xiàn)在很多圖和超圖的染色數(shù)都有了界的估計(jì)，而估計(jì)這些界的方法用的就是拓?fù)涔ぞ摺８鞣N“劃分問(wèn)題”同樣被解決了，而最著名的即“項(xiàng)鏈問(wèn)題”，又Noga Alon在1987年解決。更多地，復(fù)雜度問(wèn)題，比如說(shuō)線性決策樹(shù)算法的復(fù)雜度，以及與Aanderaa–Karp–Rosenberg猜想相關(guān)的單調(diào)圖性質(zhì)的復(fù)雜度，同樣可以用拓?fù)浣M合進(jìn)行解決。另外一個(gè)很大的理論及“偏序集的拓?fù)洹薄Ｔ?980年瑞典數(shù)學(xué)家Anders Bj?rner提出了偏序集的shellability這一概念。如果我們有一個(gè)偏序集，我們就可以給出一個(gè)單純形，從而定義一個(gè)拓?fù)淇臻g。Bj?rner提出的偏序集的shellability也即，這一個(gè)相關(guān)的拓?fù)淇臻g是一族球。這個(gè)組合的概念以及拓?fù)涞慕Y(jié)果給出了許多的應(yīng)用，比如說(shuō)Bruhat序以及代數(shù)組合中的一個(gè)問(wèn)題。同時(shí)值得注意的是，如果用了shellability，我們很容易證明$\mathcal{N}(KG_{n,k})$，也即在Lovász文章中所需要的鄰域復(fù)形，是$(n-2k-1)-$連通的。

（2）回歸組合

雖然許多組合定理能夠被拓?fù)渥C明，一個(gè)自然的問(wèn)題是，這些拓?fù)涠ɡ硎欠衲軌蜃C明組合問(wèn)題？2000年組合學(xué)又一次突破，即Matou?ek首次給出了Kneser猜想的組合證明，也就是我們前面所提到的。證明中用的Tucker引理與Borsuk-Ulam定理是等價(jià)的。同樣，Borsuk-Ulam定理的組合兄弟們也能夠用來(lái)解決“平均劃分問(wèn)題”。同時(shí)，離散數(shù)學(xué)中許多具體的證明需要快速計(jì)算同調(diào)群或其他不變量，而這些快速的程序都依賴于組合的構(gòu)造。

代數(shù)拓?fù)鋪?lái)自于組合拓?fù)涞难芯?#xff0c;正如Lefschetz首次在杜克大學(xué)提出代數(shù)拓?fù)鋾r(shí)所說(shuō)的一樣：

“The assertion is often made of late that all mathematics is composed of algebra and topology. It is not?so widely realized that the two subjects interpenetrate so that we have an algebraic topology as well as a topological algebra”

——Solomen Lefschetz

而最后一句話對(duì)于現(xiàn)在的組合與拓?fù)鋪?lái)說(shuō)同樣成立。

8.鳴謝與拓展閱讀

最后，感謝吳耀琨老師所上的“計(jì)算拓?fù)洹闭n，沒(méi)有這門課程，我是不會(huì)注意到Hatcher書(shū)上小小的一個(gè)Borsuk-Ulam定理居然能用這門有用的應(yīng)用，能夠成為組合領(lǐng)域的一大利器。

同時(shí)感謝網(wǎng)上的各位學(xué)者，將他們的美妙的成果放在了網(wǎng)絡(luò)之上，讓我有能力一窺這一領(lǐng)域的浩瀚博大。這里我給出我這篇文章所參考的資料：

[1]Some Mathematics Of Theoretical Computer Science：很簡(jiǎn)要地給出了Greene的證明，是我第1,2部分的來(lái)源

[2]25 years proof of the Kneser conjecture :給出了Kneser猜想的歷史，是第3,7部分的主要來(lái)源

[3]Kneser's Conjecture and its Generalizations?:伊朗人寫(xiě)的presentation，是我4,5部分的主要來(lái)源

[4]Combinatorial topology and the coloring of Kneser graphs:法國(guó)人的presentation，是我第6部分的來(lái)源

這一領(lǐng)域還有許多可以引用的文獻(xiàn)，這里我就不一一列舉了，從我這幾篇文獻(xiàn)的引用就可以大致了解了。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/misaka01034/p/KneserConjecture.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Kneser猜想与相关推广的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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