樹狀數組是解決快速更新以及統計數組某段區間總和，設一個數組A[1-N],需要計算A[M-K]的總和，暴力解法需要O(K-M)，如果我們求出sum（1-K）和sum（1-M）,那么答案就是sum(1-M)-sum(1-K);

那么如何快速求出sum（1-N），可以考慮直接求，但如果我們再加一個條件，需要即時更新，那么使用暴力解法就會出現問題，假設更新A[K]，需要對sum（1-K）到sum（1-N）進行更新，這是一個非常費時的過程。

這里我們使用一種二進制的思想，我們將十進制轉為二進制進行舉例思考，如上圖，

C[0001] = A[0001];

C[0010] = A[0010] + A[0001];

C[0011] = A[0011];

C[0100] = A[0100] + A[0011] + A[0010] + A[0001];

C[0101] = A[0101];

C[0110] = A[0110] + A[0101];

C[0111] = A[0111];

C[1000] = A[1000] + A[0111] + A[0110] + A[0101] + A[0100] + A[0011] + A[0010] + A[0001];

?把k定義為末尾連續0個數，可以理解為C[i] = A[i] + ... + A[i-2^k+1]。

更新的過程就是更新與A[i]相關的C[j]，舉例說明：i = 0001，j = 0001, 0010, 0100, 1000，i = 0101, j = 0110, 1000；不難看出有不斷進位的規律。

求sum得過程就是求取每一位1所對應的數字的C[i]和，舉例說明：

sum[1-1111] = C[1111] + C[1110] + C[1100] + C[1000]；

　　C[1111] = A[1111];

　　C[1110] = A[1110] + A[1101];

　　C[1100] = A[1100] + A[1011] + A[1010] + A[1001];

　　C[1000] = A[1000] + A[0111] + A[0110] + A[0101] + A[0100] + A[0011] + A[0010] + A[0001];

了解了樹狀數組所具有的二進制規律，那么下來考慮如何用代碼實現。

int lowbit(x) {return x&-x; }void update(int k,int x) {for(int i=k;i<=n;i+=lowbit(i)) {C[i]+=x; } }

0001 -> 0010,?即 0001 + 0001 = 0010；

0010 -> 0100,?即 0010 + 0010 = 0100；

0101 -> 0110,?即 0101 + 0001 = 0110；

0110 -> 1000,?即 0110 + 0010 = 1000；

lowbit函數就是求取所加的最小進位數，x&-x可以這樣理解:-x表示補碼，舉例可證原碼&補碼等于最小進位數。

更新過程就是for循環從更新的k開始，將所有C數組中相關元素更新。

int getsum(int x) {int ans=0;for(int i=x;i;i-=lowbit(i))//i要大于0ans+=C[i];return ans; }

1111 -> 1110,?即 1111 - 0001 = 1110；

1110 -> 1100,?即 1110 - 0010 = 1100；

1100 -> 1000, 即 1100 - 0100 = 1000；

1000 -> 0000,?即 1000 - 1000 = 0000；

同理可以看出求和是通過減去最小進位數，得到下一個需要加的值。

轉載于:https://www.cnblogs.com/ACMessi/p/8469339.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的树状数组-神奇的二进制的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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