P3195 [HNOI2008]玩具裝箱TOY

題目描述

P教授要去看奧運(yùn)，但是他舍不下他的玩具，于是他決定把所有的玩具運(yùn)到北京。他使用自己的壓縮器進(jìn)行壓縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。P教授有編號(hào)為1...N的N件玩具，第i件玩具經(jīng)過(guò)壓縮后變成一維長(zhǎng)度為Ci.為了方便整理，P教授要求在一個(gè)一維容器中的玩具編號(hào)是連續(xù)的。同時(shí)如果一個(gè)一維容器中有多個(gè)玩具，那么兩件玩具之間要加入一個(gè)單位長(zhǎng)度的填充物，形式地說(shuō)如果將第i件玩具到第j個(gè)玩具放到一個(gè)容器中，那么容器的長(zhǎng)度將為 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的費(fèi)用與容器的長(zhǎng)度有關(guān)，根據(jù)教授研究，如果容器長(zhǎng)度為x,其制作費(fèi)用為(X-L)^2.其中L是一個(gè)常量。P教授不關(guān)心容器的數(shù)目，他可以制作出任意長(zhǎng)度的容器，甚至超過(guò)L。但他希望費(fèi)用最小.

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行輸入兩個(gè)整數(shù)N，L.接下來(lái)N行輸入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

輸出格式：

輸出最小費(fèi)用

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：? 5 4 3 4 2 1 4 輸出樣例#1：?

1
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普通的一維DP很好想，題中給出$x = j - i + \sum\limits_{k=i}^{j}C_k$
考慮$(x-L)^2$可以變成$(j-i+\sum\limits_{k=i}^{j}C_k-L)^2 = ((\sum\limits_{k=i}^{j}C_k+1)-(L+1))^2$

讀入時(shí)直接把C和L都加1
枚舉j表示從j+1到i劃分成一段，時(shí)間是$O(N^2)$，TLE。

$f[i] = min(f[j]+(S_i-S_j-L)^2)$其中$S_i = \sum\limits_{k=1}^{i}C_k$,即C的前綴和

考慮如何對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化

$f[i] = min(f[j]+(S_i-S_j-L)^2)$

$f[i] = min(f[j]+(S_i-L)^2-2(S_i-L)S_j+{S_{j}}^{2})$

$f[i] = (S_i-L)^2+min(y_j-k_ix_j)$

其中$x_j = S_j$，$y_j = f_j + {S_j}^2$，$k_i = 2(S_i-L)$

這就像是一個(gè)直線的斜率式

可知$k_i$是單調(diào)遞增的

將$x_j,y_j$映射到坐標(biāo)軸里，畫(huà)一條過(guò)點(diǎn)$(x_j, y_j)$的斜率為$k_i$的直線

$y_j - k_ix_j$是它的截距。要使答案最小，就要使截距最小。

維護(hù)一個(gè)下凸殼（自行百度），可知只有下凸殼上的點(diǎn)組成的直線才有可能成為最優(yōu)解

因?yàn)閤是遞增的，只需考慮如何在右面加一個(gè)點(diǎn)。如果直線是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，斜率變大，截距變小，直接加入

如果是順時(shí)針，刪除前一個(gè)點(diǎn)，加入當(dāng)前點(diǎn)。

用單調(diào)隊(duì)列維護(hù)下凸殼。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/hkttg/p/9417466.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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