文章目錄

• • • 1 樹的基本概念
    • • • 1.1 樹的形式定義
        • 1.2 樹的遞歸定義
        • 1.3 樹的基本術語
        • 1.4 二叉樹的遞歸定義
        • 1.5 存儲方法
        • 1.6 滿二叉樹VS完全二叉樹
    • 2 二叉樹的性質
    • 3 代碼實現

1 樹的基本概念

1.1 樹的形式定義

T={D，R}

• D為樹T中包含n個結點的有限集合，R為樹中結點之間關系的集合。
• 當n=0時，樹為空樹；當n>0時，R是D上某個二元關系的集合，滿足以下條件：

• 有且僅有一個結點，稱為根結點，該結點沒有直接前驅結點；
• 除根結點外，每個結點有且僅有一個前驅結點；
• D中每個結點可以有零個或多個后繼結點；

1.2 樹的遞歸定義

• 樹是由n（n≥0）個結點組成的有限集T。
• 當n=0時，它是一個空樹；當n>0時，它滿足兩個條件：

• 有且僅有一個特定的結點，稱為根結點。
• 除根結點以外的其余結點分為m個（m≥0）互不相交的有限集T₁、T₂、……T_m，其中每個集合又都是一棵樹，稱T₁、T₂、……T_m為根結點的子樹。

1.3 樹的基本術語

結點：樹的數據元素

結點的度：該結點的分支的個數

樹的度：樹中所有結點的度的最大值

結點的層次：從根到該結點的層數（根結點算第一層）

樹的深度：所有結點的層次的最大值

根結點：在非空樹中，無前驅結點的結點

分支結點：度不為0的結點

葉結點：度為0的結點

孩子結點：結點的子樹的根

雙親結點：孩子結點的根結點

兄弟結點：具有共同雙親的結點

堂兄弟結點：雙親互為兄弟的結點

祖先結點：從根到該結點的所經歷的所有結點

子孫結點：以某結點為根的子樹中的任一結點

1.4 二叉樹的遞歸定義

二叉樹是結點的有限集合，這個有限集，或為空集，或由一個根結點及兩棵互不相交的，分別叫作這個根的左子樹和右子樹的二叉樹組成。

【注意】二叉樹不是樹的特殊情況。

1.5 存儲方法

雙親表示法——求父結點方便
孩子表示法——求子結點方便
雙親孩子表示法—求父結點和子結點方便
二叉樹表示法——把一個普通樹轉化成二叉樹來存儲

1.6 滿二叉樹VS完全二叉樹

滿二叉樹

• 定義：深為k且有$2^k?1$個結點的二叉樹。
• 編號：約定編號從根開始，自上而下，自左而右，給二叉樹中的每個結點一個從1開始的連續的編號。

完全二叉樹

• 定義：深為k且有n個結點的二叉樹，當且僅當其每一個結點都與深度為k的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對應。

滿二叉樹是完全二叉樹，反之則不一定！

2 二叉樹的性質

在二叉樹的第 i 層上至多有 $2^{i?1}$個結點 ($i\ge 1$)

證明：
（1）i=1時，只有一個根結點，$2^{i?1}$ =$2^0$= 1，結論正確；
（2）假設n=k-1命題成立，即第k-1層上至多有 $2^{k?2}$ 個結點，則當n=k時，每個結點至多有兩棵子樹；
則k層結點最多為k-1層的2倍，故$s<=2?2^{k?2}=2^{k?1}$，第i層至多有 $2^{i?1}$ 個結點；
（3）由歸納法，即得證。

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深度為 k 的二叉樹至多有$2^k?1$個節點($k\ge 1$)

2⁰+2¹+…+2^k-1=2^k-1（利用等比數列求和公式得到結果）

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對任何一顆二叉樹 T，如果其終端結點樹為 $n_0$，度為 2 的結點數為 $n_2$，則 $n_0$ = $n_2$+1

證明：
終端結點數就是葉結點數了，而一顆二叉樹，除了葉結點外，剩下的就是度為 1 和 2 的結點數了，我們設 $n_1$ 為度是 1 的結點數，則樹 T 的總結點數為

n = $n_0$ + $n_1$ + $n_2$

再換一個角度，數一下二叉樹中連接線的總數，由于根節點沒有雙親，所以一個二叉樹中，連接線數等于結點樹-1，$n_1$ 的度為 1 所以它僅有一條連接線，$n_2$同理，代數表達式就是

$n?1$ = $n_1$ +$2n_2$

再結合等式

n = $n_0$ + $n_1$ + $n_2$

推導出

$n_0$ + $n_1$ + $n_2$-1 = $n_1$ + $2n_2$

所以：

$n_0$ = $n_2$ + 1

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具有 n 個結點的完全二叉樹的深度為 $[{\log }_{2}n]$ + 1 ,（[x]代表不大于 x 的最大整數）

證明：
1）對于滿二叉樹，深度為 k 的滿二叉樹至多有$2^k?1$個節點($k\ge 1$)
那么由：

$n=2^k?1$

可以倒推

$k={\log }_2(n+1)$

2）對于完全二叉樹，它的結點數一定少于等于同樣深度的滿二叉樹 $2^k?1$，但一定多于 $2^{i?1}?1$，即：

$2^{i?1}?1<n\le 2^k?1$

所以

$2^{i?1}\le n<2^k$

兩邊取對數：

$2^{i?1}\le n<2^k$

而 k 又是整數：

$k=[{\log }_{2}n]+1$

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對于一個有 n 個結點的完全二叉樹（或滿二叉樹）的結點按層序順序從左到右編號，對任意結點 i 有：

1）如果 i = 1，那么結點 i 為該樹的根，無雙親；若 i > 1 ，則其雙親是結點 [i/2]
2）如果 2i > n，則結點無左孩子（結點 i 為葉子結點），否則其左孩子結點是 2i
3）如果 2i + 1 > n，則結點 i 無右孩子，否則其右孩子是結點 2i + 1

3 代碼實現

創建二叉樹：

#include <stdio.h> #include <stdlib.h>typedef char ElementType; typedef struct Binary {ElementType data;struct Binary *lchild;struct Binary *rchild; } *BinaryTree;/* Recursive implementation 1 */ BinaryTree CreateBinaryTree_1(void) {BinaryTree bt;char ch;scanf("%c", &ch);if (ch == '#') {bt = NULL;} else {bt = (BinaryTree)malloc(sizeof(struct Binary));bt->data = ch;bt->lchild = CreateBinaryTree_1();bt->rchild = CreateBinaryTree_1();}return bt; }/* Recursive implementation 2 */ void CreateBinaryTree_2(BinaryTree *bt) {char ch;scanf("%c", &ch);if (ch == '#') {*bt = NULL;} else {*bt = (BinaryTree)malloc(sizeof(struct Binary));(*bt)->data = ch;CreateBinaryTree_2(&((*bt)->lchild));CreateBinaryTree_2(&((*bt)->rchild));} }void PreviousOrderTraverse(BinaryTree T) {if (T == NULL) {return;}printf("%c", T->data);PreviousOrderTraverse(T->lchild);PreviousOrderTraverse(T->rchild); }int main(void) {BinaryTree bt;// bt = CreateBinaryTree_1();CreateBinaryTree_2(&bt);PreviousOrderTraverse(bt);return 0; }

運行結果：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二叉树介绍与代码实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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