文：楊樹森@知乎
編：小鹿鹿lulu

負數(shù)的開方到底等于多少?舉個栗子

拿出小本本, 一通變換,得到:

Really? 且看下面詳解

乘方來源于乘法，我們可以歸納地定義，設 是一個域， , 則

上述的域 可以是有理數(shù)域 , 實數(shù)域, 或復數(shù)域 前兩個不談,可以將復數(shù)定義為

其中 然后定義復數(shù)的乘法

所謂的域，就是帶有四則運算的集合。值得注意的是，除法作為乘法的逆運算，建立的前提是對于任意 , 當 時，存在唯一的 , 使得

從而可以把 定義為 .但是在開方運算中，是否存在唯一的 使得

是我們還沒有驗證的。

利用分析手段，我們知道在實數(shù)集中，設 , 則函數(shù) , 當 是奇數(shù)時是雙射，當 是偶數(shù)時值域是 且先減后增。

因此，可以定義 當 是奇數(shù)時為方程 的唯一解，當 是偶數(shù)時，若 則為方程 的唯一非負解，若 則不存在。

進一步地，可以將 看作是 將 看作是 利用

定義有理指數(shù)冪。

截止到目前，關于 我們已經(jīng)得知當 或 時的值，以及當 , 且 的最簡分數(shù)表示的分母為奇數(shù)時的值。

另外，當 時，可以將 上的函數(shù) 延拓為 上的連續(xù)函數(shù)。于是對于一切正數(shù)，它的任意實數(shù)次冪都有定義。這是高中數(shù)學的內(nèi)容，看起來相當完善。

然而當 時的情況非常糟糕，因為已有定義的指數(shù)冪的結構很復雜。這體現(xiàn)出剛才定義的負數(shù)的指數(shù)冪是有缺陷的。

事實上，在實分析中，我們往往回避負數(shù)的非整數(shù)次冪，而在以 Mathematica 為代表的數(shù)學軟件中，也不是像剛才那樣定義的。

為了敘述新定義，首先引入指數(shù)函數(shù)

它是 上的函數(shù)。可以驗證它有類似于前面的指數(shù)運算的性質(zhì)

因此，記 ,然后記 ,另外，引入三角函數(shù)

于是對于任意

成立

請注意，指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)限制在 上都可以看作是實函數(shù)，且三角函數(shù)在 上有最小正周期，記為 , 如此定義的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，限制在 上和高中數(shù)學一致。

進一步地，指數(shù)函數(shù)限制在集合 上是單射，且值域為 對數(shù)函數(shù) 是指數(shù)函數(shù)在 上的反函數(shù)，于是

對數(shù)函數(shù)限制在 上是實函數(shù)，與高中數(shù)學一致。

習題：計算 和

對于任意 當 時，定義

當 時，定義

這就是復數(shù)的冪運算。回到開頭的問題，得到

封面是函數(shù) 的圖像。

最后我們解決復數(shù)的乘方和開方問題。根據(jù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，對于任意 當 時，存在唯一的 和 使得

這是復數(shù)的三角表示。在封面中，點的高度和顏色就是利用三角表示給出的。設 則

如此，再來觀察負數(shù)的開方。設 , 則

這說明

以上對于復數(shù)的開方給出了兩個不同的定義，其中第二個有更好的分析和代數(shù)性質(zhì)。為什么會出現(xiàn)兩個不同的定義？第二個定義好在哪里呢？

我們從復數(shù)的角度考慮方程 雖然按照剛才的定義，復數(shù)的三角表示是唯一的，但是如果允許 那么根據(jù)三角函數(shù)的周期性，上述的表示不再是唯一的。

事實上，關于 的方程 當 時有 個解。記 的三角表示為 則

在第一個開方定義中，記 則當 時使用的是第 個解，當 時使用的是第 個解。而在第二個開方定義中，使用的始終是第 個解，這也使得函數(shù) 在負實軸沿上方連續(xù)。

后臺回復關鍵詞【入群】

加入賣萌屋NLP/IR/Rec與求職討論群

后臺回復關鍵詞【頂會】

獲取ACL、CIKM等各大頂會論文集！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的负数的开方到底等于多少？的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。