題目

給定一個(gè)長(zhǎng)度為 n+1 的數(shù)組nums，數(shù)組中所有的數(shù)均在 1～n 的范圍內(nèi)，其中 n≥1。請(qǐng)找出數(shù)組中任意一個(gè)重復(fù)的數(shù)，但不能修改輸入的數(shù)組。

樣例

給定 nums = [2, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 7]。 返回 2 或 3。

思考題：

如果只能使用 O(1) 的額外空間，該怎么做呢？

方法一（使用了O(n)的空間）:

class Solution { public:int duplicateInArray(vector<int>& nums) {int n = nums.size(); int nums2[n]={}; //用此數(shù)組類存儲(chǔ)重復(fù)的數(shù)字。 n個(gè)數(shù)，哪個(gè)重復(fù) nums2[n]++ for(auto x: nums) {nums2[x]++;if(nums2[x] >= 2) {return x;}}} };

方法二(時(shí)間復(fù)雜度O(n)，空間復(fù)雜度O(1))

class Solution { public:int duplicateInArray(vector<int>& nums) {int l = 1, r = nums.size()-1;int mid = (l + r)/2; // 劃分的區(qū)間：[l, mid], [mid + 1, r]int s = 0;while(l<r) {for(auto x:nums) { //查看nums數(shù)組中每個(gè)數(shù)值大小在其中一個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù)。 如在[1, mid]中的數(shù)字有多少if (x>=l && x<=mid)s+=1;if(s>mid-l+1) r=mid;else l=mid+1;}return r; } };

心得

方法一： 利用nums2數(shù)組記錄每個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)。 ++

方法二： 抽屜原理，逐漸縮小區(qū)間，查看n+1個(gè)空間n個(gè)數(shù)字，哪一側(cè)多一個(gè)數(shù)字。

(分治，抽屜原理) O(nlogn)O(nlogn)
這道題目主要應(yīng)用了抽屜原理和分治的思想。

抽屜原理：n+1 個(gè)蘋(píng)果放在 n 個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜中會(huì)放兩個(gè)蘋(píng)果。 用在這個(gè)題目中就是，一共有 n+1 個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)的取值范圍是1到n，所以至少會(huì)有一個(gè)數(shù)出現(xiàn)兩次。

然后我們采用分治的思想，將每個(gè)數(shù)的取值的區(qū)間[1, n]劃分成[1, n/2]和[n/2+1, n]兩個(gè)子區(qū)間，然后分別統(tǒng)計(jì)兩個(gè)區(qū)間中數(shù)的個(gè)數(shù)。
注意這里的區(qū)間是指 數(shù)的取值范圍，而不是 數(shù)組下標(biāo)。

劃分之后，左右兩個(gè)區(qū)間里一定至少存在一個(gè)區(qū)間，區(qū)間中數(shù)的個(gè)數(shù)大于區(qū)間長(zhǎng)度。
這個(gè)可以用反證法來(lái)說(shuō)明：如果兩個(gè)區(qū)間中數(shù)的個(gè)數(shù)都小于等于區(qū)間長(zhǎng)度，那么整個(gè)區(qū)間中數(shù)的個(gè)數(shù)就小于等于n，和有n+1個(gè)數(shù)矛盾。

因此我們可以把問(wèn)題劃歸到左右兩個(gè)子區(qū)間中的一個(gè)，而且由于區(qū)間中數(shù)的個(gè)數(shù)大于區(qū)間長(zhǎng)度，根據(jù)抽屜原理，在這個(gè)子區(qū)間中一定存在某個(gè)數(shù)出現(xiàn)了兩次。

依次類推，每次我們可以把區(qū)間長(zhǎng)度縮小一半，直到區(qū)間長(zhǎng)度為1時(shí)，我們就找到了答案。

復(fù)雜度分析
時(shí)間復(fù)雜度：每次會(huì)將區(qū)間長(zhǎng)度縮小一半，一共會(huì)縮小 O(logn)O(logn) 次。每次統(tǒng)計(jì)兩個(gè)子區(qū)間中的數(shù)時(shí)需要遍歷整個(gè)數(shù)組，時(shí)間復(fù)雜度是 O(n)O(n)。所以總時(shí)間復(fù)雜度是 O(nlogn)O(nlogn)。
空間復(fù)雜度：代碼中沒(méi)有用到額外的數(shù)組，所以額外的空間復(fù)雜度是 O(1)O(1)。

作者：yxc
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總結(jié)

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