01 向量空間

1.1定義和例子

1.2向量及其運算

1.3向量組的線性組合

1.4向量組的線性相關性

02 內積和范數

2.1內積的定義

2.2范數的定義

2.3內積的幾何解釋

03矩陣和線性變換

3.1定義和例子

3.2線性變換

線性空間中的運動，被稱為線性變換。線性空間中的一個向量變成另一個同量，都可以通過一個線性變換來完成。

線性變換也可以對空間中所有的向量進行，比如把二維空間中的所有向量想象成填滿空間的點：


下面哪個空間里的變換屬于線性變換呢？第4張圖，即右下角的圖片
線性變換需要滿足兩點：

坐標原點不發生改變

箭頭的形狀不發生改變，即不被彎曲

總的來說，空間中的變換如果滿足“空間中網格線保持平行而且等距分布，原點保持不變”，那這種變換就叫線性變換。

3.3線性變換的數值描述——矩陣

在一個線性空間中，選定一組基向量，將變換之后的基向量的數值列表放在一個矩陣里，那么這個矩陣就可以代表這個線性變換。

例子：

3.4矩陣的運算

矩陣的加法和矩許的數乘留給大家思考。
矩陣和向量的乘法，木質上是對向量在空間上進行線性變換：

3.5矩陣的轉置

3.6矩陣的行列式

3.7逆矩陣

3.8求解線性方程組

04 特征值和特征向量

4.1定義和例子

幾何上
特征向量就是線性變換后還留在原來直線上的向量；特征值就是特征向量的縮放系數。

特征值、特征向量的意義：


由上圖可知，可以通過特征值和特征向量直接知道這個矩陣在經過線性變換后是什么樣子的

有一類非常特殊的矩陣—對角矩陣，這個矩陣里的每一個列向量都是特征向量，特征值就是對角線上的值：

4.2對稱矩陣和正定矩陣

4.3相似矩陣和對角化

05二次型

5.1定義和例子

06 本章要點總結

向量空間是定義了加法和數乘這兩種運算的集合卡

范數定義了向量空間中的距離，內積定義了向量空間里的角度

線性變換描述了向量在空間里的變化·矩陣就是空間中線性變換的數值表示

矩陣的行列式代表矩陣對應的線性變換后的面積（二維實數空間中）

逆矩陣對應一個矩陣在空間里變換的反運動

矩陣的特征值和特征向量描述了線性變換的速度和方向

線代里的二次型，就是通過一個對稱矩陣，去研究某個二次型。

07 推薦資料

《工程數學線性代數》高等教育出版社

線性代數的本質《中文字幕》

公眾號《馬同學高等數學》里有關線性代數的文章

《理解矩陣》by孟巖

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一、人工智能数学基础——线性代数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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