這一篇文章開始討論有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)的一系列問(wèn)題。

基本恒等式：

所謂二項(xiàng)式系數(shù)，其實(shí)就是我們表示組合情況用到的符號(hào)：C(n,k)，n稱其上指標(biāo)，k為下指標(biāo)。而之所以將其稱為二項(xiàng)式系數(shù)，是因?yàn)樗秃竺娴亩?xiàng)式定理有著緊密的聯(lián)系。

一般展開式：

我們先從C(n,k)的內(nèi)涵出發(fā)，眾所周知，它表示從n個(gè)元素取出k個(gè)元素的情況數(shù)。通過(guò)其表征的組合含義，我們來(lái)尋求它的計(jì)算公式。

我們按照順序取出k個(gè)元素，由基本的組合原理，有n*(n-1)*(n-1)……3*2*1種情況，由于這個(gè)過(guò)程我們外加了”一定順序“這個(gè)條件，因此在所有情況的基礎(chǔ)上應(yīng)該除以k的階乘，用以消除這種順序，即C(n,k) = n*(n-1)*(n-2)*……*3*2*1 / k! ①

階乘展開式：

結(jié)合一些代數(shù)技巧，我們可以將其寫成階乘的形式，C(n,k) = n! / k! * (n-k)! ②

進(jìn)一步來(lái)看，我們?nèi)绻癣谟沂教岢鲆粋€(gè)n/k，會(huì)發(fā)現(xiàn)(n-1)!/(k-1)! * [(n-1) - (k-1)]!可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)C(n-1,k-1),即有如下的恒等式成立。

吸收/提取恒等式：

C(n,k) = n/k*C(n-1,k-1) ③

基于恒等式③，我們來(lái)證明這樣一個(gè)下標(biāo)不變的另一個(gè)恒等式：(n-k)C(n,k) = nC(n-1,k) ④

在證明④之前，我們需要知道的是，二項(xiàng)式系數(shù)存在“對(duì)稱性”。

對(duì)稱恒等式：

即C(n,k) = C(n,n-k) ⑤

這很好理解，從組合意義的角度來(lái)看，對(duì)于C(n,k)種取k個(gè)元素的情況，都一一對(duì)應(yīng)這剩下的n-k個(gè)元素，因此情況數(shù)是相同的。

那么我們開始④證明：(n-k)C(n,k) = (n-k)C(n,n-k)

=nC(n-1,n-k-1)

=nC(n-1,k)

加法/歸納恒等式：

其實(shí)研究而二項(xiàng)式系數(shù)是離不開楊輝三角的，通過(guò)觀察我們會(huì)很容易發(fā)現(xiàn)它的一條性質(zhì)，每個(gè)數(shù)字等于它“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)字之和，即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，有恒等式C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1) ⑥

通過(guò)組合意義我們會(huì)非常好理解這條恒等式為什么成立，假設(shè)我們想知道從n個(gè)雞蛋中拿出k個(gè)雞蛋的方法數(shù)，n個(gè)雞蛋中有1個(gè)壞雞蛋，那么所有方法數(shù)可以分成如下兩種情況：

該方法中沒(méi)有拿這個(gè)壞雞蛋，則有C(n-1,k)種情況。

該方法中拿了這個(gè)壞雞蛋，則有C(n-1,k-1)種情況。

故有恒等式⑥成立。本質(zhì)上講，這個(gè)恒等式給出了生成楊輝三角各個(gè)數(shù)字的遞推關(guān)系。

那么現(xiàn)在利用這個(gè)恒等式，我們將C(r+n+1,n)展開。

即有C(r+n+1,n) = C(r+n,n)+C(r+n,n-1)

=C(r+n,n) +C(r+n-1,n-1) + C(r+n-1,n-2)

=……

=C(r+n,n)+ ......+C(r+1,1) + C(r,0)

=∑C(r+k,k),k∈[1,n] ⑦

我們不難看出這個(gè)過(guò)程中的模式，即利用加法恒等式展開的過(guò)程中，利用加法恒等式先展開下指標(biāo)較小的項(xiàng)。那么下面我們反過(guò)來(lái)，從下指標(biāo)較大的開始。

上指標(biāo)求和恒等式：

C(n+1,m+1) = C(n,m+1) + C(n,m)

=C(n-1,m+1)+C(n-1,m)+C(n,m)

=......

=C(0,m) + C(1,m) + C(2,m) + ......C(n,m)

= ∑C(k,m),k∈[0,n] ⑧

上指標(biāo)反轉(zhuǎn)恒等式：

我們考察C(n,k)= n(n-1)...(n-k+1) / k!，我們來(lái)將分子做一個(gè)有意思的變換，n(n-1)...(n-k+1) = (-1)^k*(k-n-1)(k-n-2)...(1-n)(-n) = (-1)^k*C(k-n-1,k),由此我們即可得出如下的恒等式。

C(n,k) = C(k-n-1,k) * (-1)^k ⑨

為了驗(yàn)證這個(gè)恒等式的正確性，我們對(duì)C(n,k)進(jìn)行一次上指標(biāo)反轉(zhuǎn)，即C(n,k) = C(k-n-1,k)* (-1)^k。

我們繼續(xù)對(duì)右式進(jìn)行一次上指標(biāo)反轉(zhuǎn)，有C(k-n-1,k)* (-1)^k = C(k-(k-n-1)-1,k) * (-1)^2k = C(n,k)。可以看到，對(duì)C(n,k)進(jìn)行兩次上指標(biāo)反轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)換，結(jié)果變成了C(n,k)本身，這足以作證恒等式本身邏輯的自洽性。

那么我們基于這個(gè)恒等式進(jìn)行更進(jìn)一步的推導(dǎo)。

對(duì)于(-1)^m * C(-n-1,m) ,我們進(jìn)行上指標(biāo)反轉(zhuǎn)(自右向左)，有(-1)^m * C(-n-1,m)= C(m+n,n)。

對(duì)于(-1)^n * C(-m-1,n) ,我們進(jìn)行上指標(biāo)反轉(zhuǎn)(自右向左)，有(-1)^n * C(-m-1,n)= C(m+n,n).

所以有恒等式(-1)^m * C(-n-1,m)= (-1)^n * C(-m-1,n)成立。 ⑩

如果結(jié)合恒等式⑦，我們還可以化簡(jiǎn)帶有∑和(-1)^k的二項(xiàng)式系數(shù)。

∑C(r,k) * (-1)^k = ∑C(k-r-1,k) = C(n-r,n) = (-1)^n * C(r-1,n) , k<= n。

即∑C(r,k) * (-1)^k= (-1)^n * C(r-1,n) , k<= n。

三項(xiàng)式版恒等式：

C(n,m) * C(m,k) = C(n,k) *C(n-k,m-k) ?

證明：C(n,m) * C(m,k) = n!/(n-m)!*m! * m!/(m-k)!*k! 1.

= n! / (n-m)! * (m-k)! * k! 2.

= n!/(n-k)!*k! *(n-k)!/(n-m)!*(m-k)! 3.

=C(n,k) * C(n,k,m-k)4.

證畢。

二項(xiàng)式定理：

(x+y)^n = ∑C(n,a)x^a * y^(n-1) , a∈[0,n]。

定理的正確性可依然從其組合意義來(lái)理解。

我們考察C(n,a) =n!/(n-a)! * a!，則我們可以將C(a+b,a)寫成(a+b)! / a!b!,則我們可以把二項(xiàng)式定理改成如下更漂亮的形式。

(x+y)^n = ∑(a+b)! / a!b! x^a * y^b , a∈[0,n],a+b = n. ?

三項(xiàng)式定理：

(x+y+z)^n = ∑C(a+b+c,b+c) * C(b+c,c) x^a * y^b * z^c， a∈[0,n]，a+b+c = n.

我們采取類似處理二項(xiàng)式系數(shù)的方法，有C(a+b+c , b+c) * C(b+c,c) = (a+b+c)!/a!b!c!.

即有(x+y+z)^n = ∑(a+b+c)!/a!b!c! * x^a * y^b * z^c , a∈[0,n] , a+b+c = n。

由此我們可以做出推廣，對(duì)于(x1+x2+x3...+xm)^n，我們利用這種處理系數(shù)的方法，可以歸納出一般的規(guī)律。

我們記C(a+b+c,a,b,c)表示將a+b+c個(gè)元素分成各含有a、b、c元素的方法數(shù)。

多項(xiàng)式系數(shù)：

C(x1+x2+...+xm,x1,x2,...,xm) =(x1+x2+x3...xm)/x1!x2!x3!...xm!

范德蒙德卷積公式：

∑C(r,k)*C(s,n-k) = C(r+s,n)k∈[0,n]

我們從一個(gè)組合解釋來(lái)理解這個(gè)恒等式，假設(shè)我們想要從r個(gè)男人和s個(gè)女人的人群中選n個(gè)人，一方面，我們可以用C(r+s,n)來(lái)表示這個(gè)過(guò)程的方法數(shù)。我們還可以從另一個(gè)角度來(lái)看，我們先從r個(gè)男人中選取k個(gè)，隨后從s個(gè)女人中選取n-k個(gè)人，利用分步乘法定理，我們可以用∑C(r,k)*C(s,n-k)來(lái)表示。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《具体数学》——二项式系数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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