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二项分布

發(fā)布時間：2024/6/21 综合教程 27 生活家

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了二项分布小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

一、定義

在n次獨立重復(fù)的伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p。用X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的可能取值為0，1，…，n,且對每一個k（0≤k≤n）,事件{X=k}即為“n次試驗中事件A恰好發(fā)生k次”，隨機變量X的離散概率分布即為二項分布（Binomial Distribution）。

在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，二項分布是n個獨立的成功/失敗試驗中成功的次數(shù)的離散概率分布，其中每次試驗的成功概率為p。這樣的單次成功/失敗試驗又稱為伯努利試驗。實際上，當(dāng)n=1時，二項分布就是伯努利分布

一般地，如果隨機變量 X 服從參數(shù)為 n 和 p 的二項分布，我們記為 X~B(n,p) 或 X~b(n,p) 。n 次試驗中正好得到 k 次成功的概率由概率質(zhì)量函數(shù)給出：

式中k=0，1，2...，n,

是二項分布，又記為C_n^k該公式可以用以下方法理解：我們希望有k次成功(p)和n?k次失敗(1 ?p)。并且，k次成功可以在n次試驗的任何地方出現(xiàn)，而把k次成功分布在n次試驗中共有C_n^k個不同的方法

二、期望與方差

如果X~B(n,p)（也就是說，X是服從二項分布的隨機變量），那么X的期望為：

X的方差為：

這個事實很容易證明。首先假設(shè)有一個伯努利試驗。試驗有兩個可能的結(jié)果：1和0，前者發(fā)生的概率為p，后者的概率為1?p。該試驗的期望值等于μ= 1?* p+ 0? * (1?p) =p。該試驗的方差，也可以類似地計算：σ²= (1?μ)²p+ (0?μ)²(1?p) =p(1???p)
一般的二項分布是n次獨立的伯努利試驗的和。它的期望值和方差分別等于每次單獨試驗的期望值和方差的和：

三、兩個二項分布的協(xié)方差

如果有兩個服從二項分布的隨機變量X和Y，我們可以求它們的協(xié)方差。利用協(xié)方差的定義，當(dāng)n= 1時我們有：

E(XY)為當(dāng)X和Y都等于1時的概率，而E(X)和E(Y)分別為X= 1和Y= 1的概率。定義P,B為X和Y都等于1的概率，便得到：

對于n次獨立的試驗，我們便有：

如果X和Y是相同的變量，便化為前文所述的的二項分布方差公式

四、python畫圖

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import stats

#二項分布
n=100
p=0.3
k=np.arange(0,n)#生成一個0到N-1的數(shù)列
y1=stats.binom.pmf(k,n,p)
plt.plot(k,y1)
plt.show()

###畫泊松分布的圖
m=n*p
y2=stats.poisson.pmf(k,m)
plt.plot(k,y2,'g^-')
plt.show()

###再畫個正態(tài)分布的圖
l=np.sqrt(m)
y3=stats.norm.pdf(k,m,l)
plt.plot(k,y3,'ro-')
plt.show()

#畫完三個圖之后就把他們放一下對比一下吧,為了方便改變參數(shù)，我們把它寫成一個函數(shù)吧。
def draw(times,possibility):
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    from scipy import stats
    n=times
    p=possibility
    k=np.arange(0,n)#生成一個0到N-1的數(shù)列
    y1=stats.binom.pmf(k,n,p)
    m=n*p#確定泊松分布的參數(shù)
    y2=stats.poisson.pmf(k,m)
    l=np.sqrt(m)#確定正態(tài)分布的另一個參數(shù)
    y3=stats.norm.pdf(k,m,l)#注意一下前兩個是pmf最后一個是pdf
    plt.xlabel('k')
    plt.ylabel('possibility')
    plt.title('three distribution :n=%d  p=%.2f' % (n,p) )#用到了python的格式化
    binomial=plt.plot(k,y1,color='r',label='binomial')
    poisson=plt.plot(k,y2,color='g',label='poisson')
    normal=plt.plot(k,y3,color='b',label='normal')#對圖的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整
    plt.legend(loc='upper right')#把圖例放在右上角
    plt.show()

draw(100,0.3)

從上圖中可以看出，對于固定的n以及p，當(dāng)k增加時，概率P{X=k}先是隨之增加直至達(dá)到最大值，隨后單調(diào)減少。可以證明，一般的二項分布也具有這一性質(zhì)，且:

當(dāng)（n+1）p不為整數(shù)時，二項概率P{X=k}在k=[(n+1)p]時達(dá)到最大值；
當(dāng)（n+1）p為整數(shù)時，二項概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1時達(dá)到最大值。

注：[x]為取整函數(shù)，即為不超過x的最大整數(shù)

五、二項分布與其他分布的關(guān)系

兩個二項分布的和

如果X~ B(n,p)和Y~ B(m,p)，且X和Y相互獨立，那么X+Y也服從二項分布；它的分布為：

伯努利分布

伯努利分布是二項分布在n= 1時的特殊情況。X~ B(1,p)與X~ Bern(p)的意思是相同的。相反，任何二項分布B(n,p)都是n次獨立伯努利試驗的和，每次試驗成功的概率為p

泊松近似

當(dāng)試驗的次數(shù)趨于無窮大，而乘積np固定時，二項分布收斂于泊松分布。因此參數(shù)為λ=np的泊松分布可以作為二項分布B(n,p)的近似，近似成立的前提要求n足夠大，而p足夠小，np不是很小

正態(tài)近似

如果n足夠大，那么分布的偏度就比較小。在這種情況下，如果使用適當(dāng)?shù)倪B續(xù)性校正，那么B(n,p)的一個很好的近似是正態(tài)分布:

當(dāng)n越大（至少20）且p不接近0或1時近似效果更好。不同的經(jīng)驗法則可以用來決定n是否足夠大,以及p是否距離0或1足夠遠(yuǎn),其中一個常用的規(guī)則是np和n(1 ?p)都必須大于 5

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二项分布的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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