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　　線性變換這個(gè)詞在線性代數(shù)中經(jīng)常被提及，每個(gè)線性變換的背后都有一個(gè)矩陣。矩陣的概念比較直觀，相比之下，線性變換就顯得抽象了。

線性變換

　　拋開矩陣，我們從變換的角度討論投影。通過T變換，使平面內(nèi)的一個(gè)向量投影到一條直線上：

　　T就像一個(gè)函數(shù)：給定一個(gè)輸入向量，經(jīng)過T的變換，輸出成直線上的投影，過去我們一直用更專業(yè)的“映射”稱呼這種變換關(guān)系。下圖中v和w是R²空間內(nèi)的向量，通過T變換變成了直線上的投影，即T(v)和T(w)：

　　

　　變換的關(guān)系有很多，而線性代數(shù)只討論線性變換。如果T表示一個(gè)線性變換關(guān)系，對(duì)于任意向量v和w以及標(biāo)量c，線性變換應(yīng)該保證下面兩個(gè)運(yùn)算的不變性，加法不變性和數(shù)乘不變性，這一點(diǎn)和線性組合類似：

　　把二者結(jié)合：

　　順便說(shuō)一下，投影變換是一種線性變換。

判斷線性變換

　　判斷一個(gè)變換是否是線性變換其實(shí)并不困難，只要判斷這個(gè)變換是否滿足加法不變性和數(shù)乘不變性即可。

反例1：平移整個(gè)平面

　　假設(shè)某個(gè)變換關(guān)系T是平面沿著某個(gè)方向平移v₀，也就是說(shuō)對(duì)于平面內(nèi)的任意向量v，都有T(v) = v + v₀，T變換是否是線性變換？

　　這個(gè)看起來(lái)很簡(jiǎn)單的變換并不是線性變換，它違背了線性變換的兩個(gè)不變性，以數(shù)乘不變性為例：

　　線性變換的不變性要求對(duì)輸入空間內(nèi)的任意向量都成立，當(dāng)然也包括零向量，因此一個(gè)更簡(jiǎn)單的判斷方法就是使用零向量。數(shù)乘不變性對(duì)于零向量來(lái)說(shuō)將有T(0) = 0，但本例中T(0) = v₀，所以說(shuō)“平移”變換不是線性變換。

反例2：求向量的長(zhǎng)度

　　變換關(guān)系T(v) = ||v||是否是線性變換？

　　T變換將產(chǎn)生維度的變化。假設(shè)v是一個(gè)三維向量，經(jīng)過T的變換將變成一個(gè)大于等于0的實(shí)數(shù)，也就是一維向量：

　　雖然本例滿足T(0) = 0，但是對(duì)于數(shù)乘不變性來(lái)說(shuō)，如果c是負(fù)數(shù)，那么T(cv) ≠ cT(v)，因此本例不是線性變換。

正例1：旋轉(zhuǎn)變換

　　變換關(guān)系T：R²→R²是將一個(gè)二維空間的向量旋轉(zhuǎn)45°，這個(gè)變換是否是線性變換？

　　答案是肯定的，它符合線性變換的兩個(gè)不變性。

　　即使去掉坐標(biāo)軸，依然能夠清晰地描述這個(gè)變換，下圖是對(duì)二維平面內(nèi)的圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)：

正例2：線性變換與矩陣

　　到目前為止，線性變換還沒有和矩陣產(chǎn)生任何關(guān)系?，F(xiàn)在有一個(gè)變換關(guān)系是矩陣乘以一個(gè)向量，T(v) = Av，其中A是一個(gè)矩陣。根據(jù)矩陣乘法的性質(zhì)：

　　這符合線性變換的兩個(gè)判據(jù)，因此矩陣乘以向量是一個(gè)線性變換。這意味著選中一個(gè)矩陣，用它乘以平面上的所有向量，將得到一系列線性變換后的結(jié)果，即整個(gè)平面通過矩陣乘法發(fā)生了變換，這也是一個(gè)值得研究的結(jié)果。

　　現(xiàn)在有一個(gè)矩陣：

　　如果用A乘以一個(gè)R²空間的向量v——當(dāng)然，A是2×2矩陣，它也只能乘以一個(gè)R²空間的向量——將把v線性變換成另一個(gè)向量，變換后的向量的x分量不變，y分量與v的y分量相反：

　　

描述線性變換

　　我們的目的是理解線性變換，而理解線性變換的本質(zhì)是確定線性變換背后的矩陣，雖然可以在脫離坐標(biāo)和具體數(shù)值的情況下討論線性變換，但是為了更好地描述，我們?nèi)匀挥斜匾胱鴺?biāo)系。

　　假設(shè)有一個(gè)三維向量，能夠通過某種線性變換變成二維向量，這將是一個(gè)怎樣的變換？

　　用矩陣描述這個(gè)關(guān)系，T(v) = Av，v是三維向量，通過Av變成了二維向量，那么A一定是一個(gè)2×3矩陣。任何一個(gè)2×3的矩陣都可以將一個(gè)三維向量線性變換成二維向量，每一個(gè)變換都對(duì)應(yīng)一個(gè)具體的矩陣。

輸入空間的基

　　對(duì)于平面內(nèi)特定的向量v₁，只要看看T(v₁)就可以了解線性變換對(duì)它產(chǎn)生的作用。我們對(duì)空間內(nèi)其它向量的線性變換同樣感興趣，換句話說(shuō)，我們想知道線性變換對(duì)于整個(gè)輸入空間的影響。既然向量空間是由線性無(wú)關(guān)的向量張成的，那么只要知道平面內(nèi)兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，就可以了解平面內(nèi)所有向量線性變換的結(jié)果。也就是說(shuō)，只要知道輸入空間的基，就能掌握線性變換對(duì)整個(gè)輸入空間的影響。

　　v₁,v₂……v_n是輸入空間的一組基向量，把它稱之為輸入基。只要知道所有輸入基的線性變換，就可以知道輸入空間內(nèi)任意向量的線性變換：

坐標(biāo)

　　先來(lái)看看什么是坐標(biāo)。

　　Rⁿ空間的坐標(biāo)是一組數(shù)字，這些數(shù)字表示Rⁿ空間的給定向量v由多少個(gè)基向量組成（基向量線性組合的系數(shù)），但是基向量不止一組，如果基向量改變了，坐標(biāo)也隨之改變，因此一般來(lái)說(shuō)，坐標(biāo)系建立在標(biāo)準(zhǔn)基的基礎(chǔ)之上。例如一個(gè)三維空間的向量的坐標(biāo)是(2,3,4)：

　　上式可以清晰地看到v是三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)基向量的線性組合，盡管大多數(shù)時(shí)候我們都意識(shí)不到這種組合。

　　對(duì)于線性組合來(lái)說(shuō)，一旦選定了一組基，坐標(biāo)也隨之確定。比如對(duì)于輸入空間的任意一個(gè)向量v來(lái)說(shuō)，都可以用基向量的唯一線性組合表示：

　　一旦向量確定，其線性組合也隨之確定，此時(shí)c₁, c₂ ,…,c_n就是該向量的一組確定的坐標(biāo)值。

線性變換與矩陣

　　我們的目的是確定線性變換背后的矩陣，矩陣是與坐標(biāo)有關(guān)的（矩陣中的元素是確定的值），而線性變換與坐標(biāo)無(wú)關(guān)?，F(xiàn)在的問題是，如何把一個(gè)與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的線性變換變成一個(gè)與坐標(biāo)有關(guān)的矩陣？

　　假設(shè)有T能夠完成一個(gè)向量從n維空間到m維空間的線性變換：

　　現(xiàn)在我們打算構(gòu)造一個(gè)矩陣A來(lái)描述這個(gè)線性變換。在描述時(shí)需要兩組基：輸入空間的一組基來(lái)描述輸入向量，以及輸出空間的一組基來(lái)確定輸出向量的坐標(biāo)。這兩組基一旦確定，對(duì)應(yīng)的矩陣也就確定了。

　　v₁,v₂……v_n是輸入空間的一組基向量，來(lái)自Rⁿ空間；w₁,w₂……w_m是輸出空間的一組基向量，來(lái)自R^m空間。對(duì)于每個(gè)輸入向量來(lái)說(shuō)，都有具體的坐標(biāo)值，該坐標(biāo)由基向量的線性組合確定，然后把這些坐標(biāo)值乘以某個(gè)矩陣A，將得到相應(yīng)的輸出向量，輸出向量的坐標(biāo)同樣可以由輸出空間的基確定。用矩陣A來(lái)表示線性變換，就是將矩陣乘以輸入向量的坐標(biāo)，得到它在輸出空間的坐標(biāo)。

　　值得注意的是，線性變換背后的矩陣A乘以的是輸入向量的坐標(biāo)，不是輸入向量本身，得到的也是輸出向量的坐標(biāo)，不是輸出向量本身。定義一個(gè)線性變換T(v)，對(duì)v = c₁v₁ + c₂v₂ + …… + c_nv_n進(jìn)行變換，如果用A描述這個(gè)變換，則A需要滿足：

　　

　　之后用輸出向量的坐標(biāo)對(duì)輸出空間的基向量進(jìn)行線性組合，得到最終的輸出向量w：

　　由于我們之前一直使用的是標(biāo)準(zhǔn)基，因此感覺不到坐標(biāo)的存在。

　　

　　我們之前說(shuō)過，投影屬于線性變換，這里正好用投影的例子對(duì)上面的描述加以說(shuō)明。為了簡(jiǎn)單起見，將這個(gè)投影定義在二維空間，n = m = 2。參與變換的向量都在平面上，讓平面上的所有向量都投影在一條直線上。選擇輸入空間的兩個(gè)基向量v₁和v₂代替R²空間的標(biāo)準(zhǔn)基向量，其中v₁沿著投影方向趴在直線上，v₂垂直于投影方向：

　　上圖特意去掉了坐標(biāo)系，以強(qiáng)調(diào)線性變換與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。同時(shí)，由于輸出空間也是R²空間，我們也同樣用v₁和v₂作為輸出空間的基，即w₁ = v₁, w₂ = v₂。

　　之前說(shuō)過，輸入空間和輸出空間的基一旦確定，對(duì)應(yīng)的矩陣也就確定了?，F(xiàn)在的問題是，根據(jù)v₁、v₂和w₁、w₂如何描述這個(gè)用于線性變換的變換規(guī)則？也就是說(shuō)，作用于線性變換的矩陣是什么？

　　對(duì)于出入空間的任意向量v，都可以表示成兩個(gè)基向量的線性組合：

　　我們事先已經(jīng)知道投影變換是一種線性變換，它線性變換的兩個(gè)不變性：

　　T表示投影變換，T(v₁)是v₁的投影，沿著直線方向的向量的投影就是這個(gè)向量本身，所以T(v₁) = v₁。v₂垂直于直線，它的投影是零向量，所以T(v₂) = 0。由此得到了投影變換和這組基向量的關(guān)系：

　　A用一組特殊的輸入基和輸出基（垂直于直線和沿著直線方向的一組基）描述了線性變換，將矩陣A乘以輸入向量的坐標(biāo)，得到它在輸出空間的坐標(biāo)：

　　如果改用標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)基，即：

　　投影的直線也需要給出具體的位置，假設(shè)T(v)變換是將向量投影到45°的直線上：

　　現(xiàn)在嘗試找出這個(gè)符合要求的矩陣，也就是投影矩陣。根據(jù)投影矩陣的公式，可以用向量a = (t, t)表示直線，從而求得投影矩陣：

　　

　　在使用標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)基的時(shí)候，坐標(biāo)值等于向量本身：

　　可以看到，如果選擇的基向量不同，即使對(duì)于同樣的線性變換，背后的矩陣也不同。在使用標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)基的時(shí)候，感覺不到坐標(biāo)的存在，此時(shí)矩陣乘以輸入向量等于輸出向量。實(shí)際上第一次是以投影矩陣的特征向量為基，得到的矩陣A是投影矩陣P的特征值矩陣。

如何確定矩陣

　　確定矩陣A的前提是需要知道輸入空間和輸出空間的基，我們依然用v₁,v₂……v_n和w₁,w₂……w_m表示這兩組基。T(v₁)表示對(duì)輸入空間的第一個(gè)基向量v₁做線性變換，此時(shí)矩陣A乘以的坐標(biāo)是(1,0,…,0)，得到的輸出坐標(biāo)是：

　　

　　當(dāng)知道線性變換的結(jié)果時(shí)，就可以通過它的坐標(biāo)確定A的第一列。上式實(shí)際上描述了這樣線性變換：

求導(dǎo)也是一種線性變換

　　這里有一個(gè)特殊的線性變換——求導(dǎo)，T = d/dx。我們之所以能夠?qū)瘮?shù)求導(dǎo)，正是因?yàn)榍髮?dǎo)本身是一種線性變換，因此只需要掌握少量的求導(dǎo)法則，就能求出函數(shù)線性組合的導(dǎo)數(shù)。

　　假設(shè)輸入空間的基是1, x, x²，線性組合是c₁ + c₂x + c₃x²；輸出是導(dǎo)數(shù)：

　　輸出空間的基是1, x。這是一個(gè)從三維空間到二維空間的線性變換：

　　描述這個(gè)線性變換的矩陣A滿足：

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　　出處：微信公眾號(hào) "我是8位的"

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数笔记32——线性变换及对应矩阵的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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