咋一看，這是個很簡單的問題，但是如果n是個不確定的數呢？比如服務器每天會收到數以億計的請求，但是目前服務器端不希望保存所有的請求，只想隨機保存這些請求中的m個。試設計一種算法，能夠使服務器實時保存m個請求，并使這些請求是從所有請求中的大致等概率被選中的結果。注意：不到一天的結束，是不能提前知道當天所有請求數n是多少的。下面我們分兩種情況討論（1）n已知，（2）n未知。

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1 n已知

可以將問題簡化為：從集合A(a_1, a_2, … ,a_n),中隨機選取m（0≤m≤n）個元素，使得每個數被選取的概率相等。可以很簡單的計算每個數被選取的概率是m/n。如果集合A里面的元素本來就具有隨機性， 每個元素在各個位置上出現的概率相等， 并且只在A上選取一次數據，那么直接返回A的前面m個元素就可以了， 或者可以采取每隔k個元素取一個等類似的方法。這樣的算法局限很大， 對集合A的要求很高。

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假設集合A中的元素在各個位置上不具有隨機性， 比如已經按某種方式排序了，那么我們可以遍歷集合A中的每一個元素a_i,根據一定的概率選取a_i,這個概率是多少呢，設m’為還需要從A中選取的元素個數， n’為元素a_i及其右邊的元素個數， 也即n’=(n-i+1)。那么選取元素a_i的概率為 m’/n’。這個證明較復雜，下面簡單驗證一下前兩個元素被選中的概率：（設p(a_i=1)表示a_i被選中的概率，p(a_i=0)表示a_i沒有被選中的概率）

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（1）很顯然?p(a_1=1)=m/n

（2）p(a_2=1)= p(a_2=1,a_1=1)+p(a_2=1,a_1=0)
= p(a_1=1)*p(a_2=1│a_1=1)+ p(a_1=0)* p(a_2=1│a_1=0)
= m/n * (m-1)/(n-1) + (n-m)/n*m/(n-1)
= m/n

實際編程中選取某個元素時，可以生成一個[0,1]之間的隨機數k, 若k<=m'/n'則選取這個元素，否則拋棄。

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2 n未知

這個問題可以簡化為：一個整數序列生成器，以一定時間間隔生成一個新的整數，一天之內會生成N個，希望實時保存m個整數，使得任何時刻這m個整數都是當前已生成的所有整數數量n中等概率抽取的結果，即概率均為m/n。由于n是未知的，我們需要以某種特殊的方式進行判決保存還是不保存，以使得滿足概率要求。具體步驟如下：

(1)對于前m個請求直接保存到服務器上，對應整數序列相當于，整數數組的前m個直接存下來。

(2)對于m個以后的第k個新請求，以m/k的概率選擇保存，并同從已保存的m個請求中隨機選出的一個進行交換。

細說就是，

• • 對于第m+1個請求，以m/(m+1)的概率選擇留下，如果留下了則從已保存的m個請求中隨機選出一個，同它交換;
  • 對于第m+2個請求，以m/(m+2)的概率選擇留下，如果留下了則從已保存的m個請求中隨機選出一個，同它交換;
  • 對于第m+3個請求，以m/(m+3)的概率選擇留下，如果留下了則從已保存的m個請求中隨機選出一個，同它交換;

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下面我們用數學歸納法證明這個方法使每個元素被選取的概率是m/n：

(1)當n=m+1時，
對于第m+1個請求以概率m/(m+1)選擇留下，顯然滿足m/n的要求;
對于前m個請求中的任何一個，能被選擇留下有兩種情況：a.第m+1個請求被選擇留下了并且沒有和自己進行交換; b.第m+1個請求沒有被選擇留下來而自己確實已被選擇留下來了。
所以，概率計算為 m/(m+1) * (m-1)/m + (1 – m/(m+1)) * 1 = (m-1)/(m+1) + 1/(m+1) = m/(m+1)

(2)假設當n=N時，仍然正確，即任何一個請求被選中的概率都是m/N，現在推到證明當n=N+1時，任何一個請求被選中留下的概率是m/(N+1)。
對于第N+1個請求，因為是以m/n=m/(N+1)的概率選中的，所以顯然滿足要求;
對于前m個請求中任何一個，能被選中留下同樣分為同上的兩種情況：a.一種是第N+1個被選中了但隨機抽取出與它交換的不是自己; ?b.另一種情況是自己已留下并且第N+1個未被選中留下。并且前m個請求中的某個被選中的前提是：在處理完第N個請求后，該請求被選中，根據假設這個概率是m/N。

和概率為: [ m/(N+1) * (m-1)/m + (1-m/(N+1)) ]* m/N = [ (m-1)/(N+1) + (N+1-m)/(N+1) ] * m/N = m/(N+1)。

即當n=N+1時，仍然正確。

綜合1）、2)可知，此方法滿足等概率要求

當然這種選取方法也適用于n已知的情況。

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總結

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