最小二乘法小結

最小二乘法原理

1. 介紹部分

最小二乘法是獲得物理參數唯一值的標準方法，具體是通過這些參數或者在已知數學模型中與這些參數相關的參數的多余觀測值來求得。

最小二乘法最早是由高斯提出，用來估計行星運行軌道的。

1.1 數理統計和最小二乘法

物理量總是不能被精確測定。總是存在一個限定的測量精度，超過這個精度，相關的數學模型和測量儀器的分辨率這兩者之一或者全部將會無能為力。超出這個精度，多余觀測值之間會產生差異。

我們常常希望獲得超過該限定精度的測量值，在不知道真值的情況下我們只能估計真值。一方面我們想要估計出唯一的值，另一方面，我們想要知道這個估計有多好。最小二乘法就是這樣一個估計，它基于最小化差值的平方和。

最小二乘法相比其他傳統的方法有三個優點。其一，它既可以應用在線性數學模型上也可以應用在非線性數學模型上；其二，它和統計量算術平均值有關；其三，最小二乘法在很多領域是通用的。

物理量的值的唯一統計估計稱為點估計。無論頻率函數是否知道，我們都可以作物理量的點估計并且可以衡量它與真值趨近程度。另外兩種估計，區間估計以及假設檢驗，它們只能在相應的頻率函數已經確定的情況下進行。

1.2 線性代數和最小二乘法

(nontrivial=nonzero，非平凡解就是指非零解)

現有線性方程組

A X= L (1-1)

X是未知數向量，L是常數向量，A是系數矩陣，[A:L]是增廣矩陣。該方程組有唯一非零解僅當

L ≠ 0 (非齊次方程組)， (1-2a)

r (A) = X的維數?

總結

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