最短路徑

–在網(wǎng)絡(luò)中，求兩個(gè)不同頂點(diǎn)之間的所有路徑中，邊的權(quán)值之和最小的路勁。

單源最短路徑

–從某固定源點(diǎn)出發(fā)的最短路徑

無(wú)權(quán)圖的最短路徑

• 按照路徑長(zhǎng)度遞增的順序找出源點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑

• 類(lèi)似于BFS-寬度優(yōu)先遍歷，可以通過(guò)隊(duì)列來(lái)實(shí)現(xiàn)，

  • 先讓頂點(diǎn)入隊(duì)，循環(huán)執(zhí)行下列步驟
  • 出隊(duì)首元素，訪問(wèn)其所有鄰接點(diǎn)
  • 標(biāo)明源點(diǎn)到這些鄰接點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度，并將其入隊(duì)

有權(quán)圖的最短路徑

Dijkstra算法

• 令第一組為集合S={源點(diǎn)+已經(jīng)確定最短路徑的頂點(diǎn)v_i}

• 令第二組為未在集合S中的頂點(diǎn)v，定義length成員為源點(diǎn)s到v的最短路徑長(zhǎng)度，該路徑除了終點(diǎn)v以外，所有頂點(diǎn)都必須是集合S中的頂點(diǎn)。即{s—>（v_i∈S）—>v}的最小長(zhǎng)度

• 每次對(duì)未在第一組集合S的頂點(diǎn)，選一個(gè)length最小的頂點(diǎn)(記為v)，將其增加至集合S中。

  • 如何選這個(gè)頂點(diǎn)V–用一個(gè)最小堆H(剛開(kāi)始只有源點(diǎn))，每次找出并刪除一個(gè)length值最小的頂點(diǎn)V，這里這個(gè)找到并刪除的頂點(diǎn)V就是每次加入集合S的頂點(diǎn)，然后找到V的所有鄰接點(diǎn)，對(duì)其鄰接點(diǎn)的length值進(jìn)行賦值，然后加入最小堆H里，往復(fù)循環(huán)，直至最小堆空了(最小堆空了，即所有頂點(diǎn)都加入了集合S)–看程序就明白了

  • 選進(jìn)去的時(shí)候要注意什么–增加v進(jìn)集合S中會(huì)影響頂點(diǎn)w(w為v的鄰接點(diǎn))的length值，因?yàn)槎嗔藗€(gè)頂點(diǎn)v，可能會(huì)改變s—w的走法，原先不經(jīng)過(guò)v，現(xiàn)在最短路徑經(jīng)過(guò)v，即需要考慮

    length[w],與length[v] + e.weigth的大小關(guān)系--------(1)

• 直到把所有頂點(diǎn)都送進(jìn)集合S中

設(shè)源點(diǎn)為V0，則按照Dijkstra算法的最短路徑求解過(guò)程如下

注：初始的時(shí)候只有集合S只有源點(diǎn)s，因此只有到點(diǎn)v1、v2有路徑，路徑長(zhǎng)度用length表示，，沒(méi)有路徑則length為∞，路徑的終點(diǎn)的前一個(gè)點(diǎn)用pre表示。

```C++ class Dist { // Dist類(lèi)，用于保存最短路徑信息public:int index; // 結(jié)點(diǎn)的索引值int length; // 當(dāng)前最短路徑長(zhǎng)度int pre; // 路徑最后經(jīng)過(guò)的結(jié)點(diǎn) };void Dijkstra(Graph& G, int s, Dist* &D) { // s是源點(diǎn)D = new Dist[G. VerticesNum()]; // 開(kāi)辟空間給類(lèi)Dist，用來(lái)記錄當(dāng)前最短路徑長(zhǎng)度for (int i = 0; i < G.VerticesNum(); i++) { // 初始化，將圖中所有頂點(diǎn)的標(biāo)志位記為未訪問(wèn)，將Dist類(lèi)的索引值記為頂點(diǎn)號(hào)，將頂點(diǎn)到源點(diǎn)的length置為∞。G.Mark[i] = UNVISITED; D[i].index = i; D[i].length = INFINITE;D[i].pre = s;}D[s].length = 0; // 初始化，源點(diǎn)自身的路徑長(zhǎng)度置為0MinHeap<Dist> H(G. EdgesNum()); // 最小堆用于找出集合S中到源點(diǎn)的路徑最短的點(diǎn)，最小堆存放Dist類(lèi)元素，共有G.EdgesNum個(gè)長(zhǎng)度H.Insert(D[s]); //將源點(diǎn)放入最小堆for (i = 0; i < G.VerticesNum(); i++) {bool FOUND = false;Dist d;while (!H.isEmpty()) {d = H.RemoveMin(); //獲得集合S中到源點(diǎn)s路徑長(zhǎng)度最小的結(jié)點(diǎn)，并刪除if (G.Mark[d.index] == UNVISITED) { //如果未訪問(wèn)過(guò)則跳出循環(huán)FOUND = true; break;} }if (!FOUND) break; // 若沒(méi)有符合條件的最短路徑則跳出本次循環(huán)int v = d.index; G.Mark[v] = VISITED; // 將標(biāo)記位設(shè)置為 VISITEDfor (Edge e = G.FirstEdge(v); G.IsEdge(e); e = G.NextEdge(e)) // 對(duì)最小堆中到源點(diǎn)路徑最短的頂點(diǎn)v，求他的每個(gè)鄰接點(diǎn)，并考慮是否需要改變其最小距離--刷新最短路，然后將其加入最小堆if (D[G.ToVertex(e)].length > (D[v].length+G.Weight(e))) {//這里第一次執(zhí)行時(shí)，因?yàn)閯傞_(kāi)始最小堆里只有源點(diǎn)，其他頂點(diǎn)到源點(diǎn)的length都為∞，執(zhí)行完后V1、V2的length值才改變D[G.ToVertex(e)].length = D[v].length + G.Weight(e);D[G.ToVertex(e)].pre = v;H.Insert(D[G.ToVertex(e)]);} } }

Dijkstra算法時(shí)間復(fù)雜度

$$T=O(|V|log|V|+|E|log|V|)=O(|E|log|V|)$$

前半部分為在最小堆里找V次，依次復(fù)雜度為logV，后半部分是往最小堆里插入Dist，一次最多有可能插E次(極限情況，一個(gè)頂點(diǎn)有E條邊)

Dijkstra使用條件

• 圖中不能出現(xiàn)有總權(quán)值為負(fù)值的回路
• 如果存在負(fù)值邊也有可能發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤
• 持負(fù)權(quán)值的最短路徑算法有Ford算法、SPFA算法

多源最短路徑

–求每對(duì)頂點(diǎn)間的最短路徑

Floyd算法

• D<sup>k</sup>[i] [j]表示路徑{ i —> { l<= k } —> j }的最小長(zhǎng)度（i、j、l、k表示頂點(diǎn)編號(hào)）

• 首先用矩陣D<sup>0</sup>表示該圖的鄰接矩陣

• 在矩陣D<sup>0</sup>上做n次迭代

• 如何迭代呢–當(dāng)D<sup>k-1</sup>已經(jīng)完成，遞推到D<sup>k</sup>時(shí)，

  • 若k?最短路徑{ i —> { l<= k } —> j }，(即i到j(luò)的最短路徑不經(jīng)過(guò)k)則D<sup>k</sup>=D<sup>k-1</sup>

  • 若k∈最短路徑{ i —> { l<= k } —> j }(即i到j(luò)的最短路徑經(jīng)過(guò)k)，則該最短路徑由兩條路徑組成:
    $$D(k)[i][j]=D(k?1)[i][k]+D(k?1)[k][j]$$

cpp void Floyd(Graph& G, Dist** &D) {int i,j,v;D = new Dist*[G.VerticesNum()]; // 申請(qǐng)空間，申請(qǐng)一個(gè)與鄰接矩陣等大的Dfor (i = 0; i < G.VerticesNum(); i++)D[i] = new Dist[G.VerticesNum()];// 初始化數(shù)組Dfor (i = 0; i < G.VerticesNum(); i++) for (j = 0; j < G.VerticesNum(); j++) {if (i == j) { D[i][j].length = 0;D[i][j].pre = i; }else { D[i][j].length = INFINITE; D[i][j].pre = -1; } }//對(duì)D0矩陣進(jìn)行賦值，讓其與鄰接矩陣相同for (v = 0; v < G.VerticesNum(); v++)for (Edge e = G.FirstEdge(v); G.IsEdge(e); e = G.NextEdge(e)) {D[v][G.ToVertex(e)].length = G.Weight(e);D[v][G.ToVertex(e)].pre = v; }// 加入新結(jié)點(diǎn)后，更新那些變短的路徑長(zhǎng)度for (k = 0; k< G.VerticesNum(); k++)for (i = 0; i < G.VerticesNum(); i++)for (j = 0; j < G.VerticesNum(); j++)if (D[i][j].length > (D[i][k].length+D[k][j].length)) {D[i][j].length = D[i][k].length+D[k][j].length; D[i][j].pre = D[k][j].pre;//第k次迭代，考慮在加入編號(hào)為k的頂點(diǎn)的情況下，是否需要更新i、j之間的路徑長(zhǎng)度} }

Floyd算法時(shí)間復(fù)雜度

$$T=O(|V|3)$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图的最短路径--单源、多源最短路径的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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