1.從多項式乘法到卷積和

這里有兩個多項式：

兩個多項式相乘

看一下h(x)的0次方項的系數是怎么算的

你會發現，在求c0時，這個等式的右邊的每一項都是數列中的某一項和數列中的某一項相乘，而且任何一對乘在一起的a和b，它們在數列中的下標的和，剛好是所求的c的下標0。

同樣的,h(x)的3次方項

同樣的，這個等式的右邊的每一項都是數列中的某一項和數列中的某一項相乘，而且任何一對乘在一起的a和b，它們在數列中的下標的和，剛好是所求的c的下標3。

再舉一個負數次方項的例子，h(x)的-2次方項

這個式子當中，任何一對乘在一起的a和b，它們在數列中的下標的和，剛好是所求的c的下標-2

然后，推廣到一般情況

如果把數列和當作序列，這就是序列a和序列b的卷積和公式

由此可以推出結論：

兩個多項式f與g相乘的結果的系數序列，就是f和g各自的系數序列的卷積。

卷積其實是一種“附帶了位置信息”的乘法。

P.S.

1.實際上，在matlab中以系數向量表示的兩個多項式相乘，用到的函數conv(),其實就是卷積函數，"conv"是“卷積”的英文"convolution"的縮寫

2.如果把以上所有式子中的x化妝成為z,上述推導過程其實就是論證Z變換的性質之一“時域卷積對應于z域相乘”的過程

2.從離散的卷積和到連續的卷積積分——matlab的啟發

再舉一個連續的例子：

這里有兩個函數

現在我們先看一下在電腦如何畫出這兩個圖的

新版的matlab有fplot()函數,可以實現像幾何畫板或者是Geogebra之類直接將函數表達式轉化為圖像的功能。

但是老版本的matlab，還是要通過離散進行逼近——這是更接近于計算機本質的表示方法，就跟計算機畫圓一樣

%“%”符號后面跟著注釋x=0:0.01:pi; %向量x=(0,0.01,0.02,...,3.13,3.14) ,記住這種寫法%中間的%跟python不同，matlab里的步長是寫在中間的y1=sin(x); %將x的每一個值代入正弦函數，得到對應的y向量（數列）%即 向量 y1=(sin(0),sin(0.01),sin(0.02),...sin(3.13),sin(3.14))y2=cos(x); %同樣地，將x的每一個值代入余弦函數，得到對應的y向量（數列）%即 向量 y2=(cos(0),cos(0.01),cos(0.02),..cos(3.13),cos(3.14))plot(x,y1); %將向量x中每一個維度的值與對應的y在同一維度的值，即(0,sin(0)),(0.01,sin(0.01))...,(3.14,sin(3.14))這些點%在坐標系中標出，然后用折線連起來%由于x內的相鄰兩項的值都“挨得很近”，相差很小（即步長很小）%畫出來的圖形與真正的正弦函數“看不出區別”

如果計算機需要畫出y1(x)和y2(x)的卷積積分，計算機就會試著計算上述代碼段中向量y1和向量y2的卷積和，就是拿出下面兩個多項式,即(3)和(4)相乘,得到一個新的多項式，再取其各項系數作為結果向量，再按照上面注釋提到的方法畫圖。

在這里可以推廣一下：

任何一個連續的函數圖像，在其定義域內都可以看作是步長無限趨于0的向量x作為自變量“一個個地帶入函數y=f(x)”得到的
y的值所構成的(x,y)的點連成的。這些y也能構成向量。如果y的定義域是的話，x利用matlab中的寫法就是

把f(x)寫成類似于(3)的多項式就是：

卷積積分就是類似于式子(5)的兩個多項式相乘,再把得到的多項式的各項系數提取出來，即

總結

以上是生活随笔為你收集整理的让高中生理解卷积——从多项式乘法开始的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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