注釋：在傳統教材中，穩定性理論還會介紹適用于線性子系統和非線性子系統串聯在一起時的分析理論，即絕對穩定性理論，考慮到這套理論在自適應控制等的用處，將在以后的自適應部分進行適當介紹。

在經典控制理論中，我們介紹過頻率響應方法，但是這種方法不能直接用于非線性系統，因為對于非線性系統來說不能定義頻率響應函數，然而對于某些非線性系統，可以對頻域方法進行擴展，即后面所說的描述函數方法，它可以用來近似的分析和預測非線性特性，由于缺乏系統的非線性系統分析工具，使得它在實際工作當中不可缺少，在工程應用中描述函數方法，主要用來預測非線性系統的極限環。

本文以一個典型的例子入手，展示了怎樣用描述函數法求解它的極限環，在過程中展示了描述函數的求取方法，在此基礎上，結合推廣后的奈奎斯特穩定判據，對非線性系統例子進行了分析，最后補充了描述函數法的一些缺陷。

這里有人可能會問，為什么要預測極限環？這是因為，雖然在工程中有少數部分，我們期望極限環存在，但對于大部分系統來說，極限環使得控制的精密度下降，引起硬件機械故障或者其他我們不希望的效果，比如在自動駕駛的飛機里面，導致乘客產生不舒適感。

一、典型例子

對于非線性系統，有一個非常經典的方程，范德波爾方程

我們采用一種完全不同的方法再來研究方程，具體來說，我們要確定這個系統是否存在極限環，如果有，能不能計算出極限環的幅值和頻率。

為了達到這個目的，首先我們假設存在一個幅值和頻率不確定的極限環，然后確定這個系統是否真的有這個解，這種思路類似于微分方程中的待定系數法

下面展示了一種解決這個問題的方法

首先我們用方框圖把系統表示出來

首先假設這個系統存在一個極限環，并且輸入信號具有如下的形式

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這里展示的一種求取極限環的方法，接下來我們就依據上面的過程進行分析。

我們首先畫出了系統的方框圖，把系統分成了線性單元和非線性單元，得出了非線性部分的輸出，在此處我們采用了一個關鍵的步驟，也就是忽略了輸出當中的一些部分，把非線性部分近似的等價于了擬線性部分，并且得出了一個頻域內的近似表達式，而這個表達式就是描述函數。而得到了描述函數，后續的極限環的幅值和頻率可以求取。

二、使用條件

描述函數法的使用范圍，簡單來說包含兩類重要的系統，第一類系統由幾乎線性的系統組成，所謂幾乎線性就是它的控制回路里含有硬非線性特性，但其他部分都是線性的，所謂硬非線性特性，即不連續的非線性特性，比如飽和、死區、開關、間隙、滯后等，這些在非線性控制的第1篇文章中所提及。第二類系統就是可以拆成由非線性元件和線性元件構成的一類非線性系統，

在這基礎上還有這樣幾條假設：

三、典型的描述函數

經過上面的例子分析，對于描述函數的算法已經清楚了，描述函數的核心就是非線性部分的輸出的傅里葉變換后只取基波分量，然后比上輸入正弦量。下面總結了常見的非線性特性的描述函數：

描述函數法講解 - 百度文庫?wenku.baidu.com

四、用描述函數法分析非線性系統

我們得到了描述函數，接下來就可以用它來分析系統，在第一部分里使用的例子表明了這一點，但例子里展示的方法，尤其是預測極限環時，有些地方沒有解釋。顯得沒有理論依據，這部分就進行這個工作。

我們可以將奈奎斯特判據進行推廣：（過程在鏈接里）

描述函數法講解 - 百度文庫?wenku.baidu.com

另外需要補充一點

五、實際例子

得到了描述函數和推廣的奈奎斯特穩定判據就可以針對實際問題進行處理，進一步強化對于上面理論工具的認識，以及在實際應用中需要注意的問題。(比如軌線的畫法)

六、描述函數方法的可靠性

經過長期實踐，人們發現描述函數法可以有效解決大量與極限環有關的實際控制問題，但是它也有可能造成以下三種不準確性，比如所預測的極限環的幅值和頻率不精確，預測有極限環，但實際不存在，或者存在預測不到的極限環。

第1類不準確性經常存在，但是影響不大，我們重點關注的是第2類和第3類不準確性。這牽扯到描述函數法的核心功能

因此，需要在傳統的描述函數法上加上兩個檢驗條件

總結

以上是生活随笔為你收集整理的控制是否展示_非线性控制（四）描述函数法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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