前言：部分資料引自極客大學《數據結構與算法之美》，感謝王爭老師！
參考鏈接：

• https://visualgo.net/en/bst?slide=1
• https://zh.wikipedia.org/wiki/二叉樹#前（先）序、中序、後序遍歷
• https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-inorder-traversal/
• https://time.geekbang.org/column/article/67856

如何表示（或者存儲）一棵二叉樹？

想要存儲一棵二叉樹，我們有兩種方法，一種是基于指針或者引用的二叉鏈式存儲法，一種是基于數組的順序存儲法。
1. 鏈式存儲
每個節點有三個字段，其中一個存儲數據，另外兩個是指向左右子節點的指針。我們只要拎住根節點，就可以通過左右子節點的指針，把整棵樹都串起來。這種存儲方式我們比較常用。大部分二叉樹代碼都是通過這種結構來實現的。

2. 基于數組的順序存儲法
把根節點存儲在下標 i = 1 的位置，那左子節點存儲在下標 2 * i = 2 的位置，右子節點存儲在 2 * i + 1 = 3 的位置。以此類推，B 節點的左子節點存儲在 2 * i = 2 * 2 = 4 的位置，右子節點存儲在 2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5 的位置。

思考：根節點存儲在下標為1的位置，而不是0的位置，有可能和二進制位有關。
下表用4位二進制數來表示圖中完全二叉樹的示例:

根節點左節點右節點

0001	0010	0011
0010	0100	0101
0011	0110	0111
0100	1000	1001
0101	1010	1011

可以發現：
左節點下標 = 根節點下標右移1位
右節點下標 = 根節點下標右移1位 + 1
如果根節點下標從0開始，就不好運算了…

如果是非完全二叉樹，且以數組的形式存儲，在相應空白結點處還是會浪費空間的。所以完全二叉樹使用數組來存儲，空間浪費最少。

二叉樹的屬性

關于“樹”，還有三個比較相似的概念：高度（Height）、深度（Depth）、層（Level）。它們的定義是這樣的：

以下圖為例：

王爭老師對于二叉樹的個人理解：
“高度”這個概念，其實就是從下往上度量，比如我們要度量第 10 層樓的高度、第 13 層樓的高度，起點都是地面。所以，樹這種數據結構的高度也是一樣，從最底層開始計數，并且計數的起點是 0。
“深度”這個概念在生活中是從上往下度量的，比如水中魚的深度，是從水平面開始度量的。所以，樹這種數據結構的深度也是類似的，從根結點開始度量，并且計數起點也是 0。
“層數”跟深度的計算類似，不過，計數起點是 1，也就是說根節點位于第 1 層。

二叉樹的遍歷

經典的方法有三種，前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷。其中，前、中、后序，表示的是節點與它的左右子樹節點遍歷打印的先后順序。

• 前序遍歷是指，對于樹中的任意節點來說，先打印這個節點，然后再打印它的左子樹，最后打印它的右子樹。
• 中序遍歷是指，對于樹中的任意節點來說，先打印它的左子樹，然后再打印它本身，最后打印它的右子樹。
• 后序遍歷是指，對于樹中的任意節點來說，先打印它的左子樹，然后再打印它的右子樹，最后打印這個節點本身。

這里使用了遞歸的知識，具體代碼實現引自wiki：
前序遍歷

visit(node)print node.valueif node.left != null then visit(node.left)if node.right != null then visit(node.right)

中序遍歷

visit(node)if node.left != null then visit(node.left)print node.valueif node.right != null then visit(node.right)

后序遍歷

visit(node)if node.left != null then visit(node.left)if node.right != null then visit(node.right)print node.value

在這個二叉樹中，
前序遍歷的結果：M，G，D，B，A，C，F，E，J，H，I，K，L，S，P，O，N，Q，R，W，U，T，V，X，Z，Y
中序遍歷的結果：A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R，S，T，U，V，W，X，Y，Z
后序遍歷的結果：A，C，B，E，F，D，I，H，L，K，J，G，N，O，R，Q，P，T，V，U，Y，Z，X，W，S，M

對于各個遍歷過程的個人理解：
前序遍歷：

• 用小明家族繼承傳家寶打比喻或許比較形象：繼承家族傳家寶的原則是傳長子不傳幼子，傳后代不傳兄弟 ---- 從祖父，到父親，到小明本人。假設小明絕后（沒有子孫結點），那么小明的遺產就交給他的弟弟小磊（當前節點的 兄弟節點 ）。如果小磊也很不幸絕后（好慘），那么就將財產留給他的叔叔，由叔叔傳承給小磊的堂兄弟。 感覺傳完寶物之后一個家族就完蛋了…

中序遍歷：

• 每次取走二叉樹中 最左邊的元素，其中最左邊是字面意思（哈哈）。
  就拿這幅圖為例，ABCDEFGHIJKL…是不是一目了然（手動狗頭）
  注意根節點永遠在左節點以及其后代的右部，右節點及其后代的左部。
  
  后序遍歷：
  假設小明要搭積木城堡，規則是先打好地基，再蓋上樓頂。而且兩個相鄰城堡可以組合成一個大城堡的地基。
  還是以這幅圖為例，先打好地基AC，蓋上屋頂B。此時一個城堡搭建好了，可以搭建下一個城堡：先打好地基E，然后蓋上屋頂F。最后蓋第三層D…
  

用二叉樹表示下述表達式：a+b*(c-d)-e/f （又是取走最左邊元素…同時）

• 先序遍歷 的序列是：-+a*b-cd/ef （傳承家產）

• 中序遍歷 的序列是：a+b*c-d-e/f （摘除最左邊）

• 后序遍歷 的序列是：abcd-*+ef/- （搭城堡）

小結：遍歷二叉樹：L、D、R分別表示遍歷左子樹、訪問根結點和遍歷右子樹，則先(根)序遍歷二叉樹的順序是DLR，中(根)序遍歷二叉樹的順序是LDR，后(根)序遍歷二叉樹的順序是LRD。還有按層遍歷二叉樹。這些方法的時間復雜度都是O(n)，n為結點個數。

最后安利一個很好用的二叉樹在線可視化平臺： https://visualgo.net/en/bst?slide=1

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[算法笔记]二叉树基础的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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