斐波那契博弈【轉】

轉自：http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7835016

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?引用：http://blog.csdn.net/dgq8211/article/details/7602807

有一堆個數為n的石子，游戲雙方輪流取石子，滿足：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完；

2)之后每次可以取的石子數介于1到對手剛取的石子數的2倍之間（包含1和對手剛取的石子數的2倍）。

約定取走最后一個石子的人為贏家，求必敗態。

這個和之前的Wythoff’s Game 和取石子游戲 有一個很大的不同點，就是游戲規則的動態化。之前的規則中，每次可以取的石子的策略集合是基本固定的，但是這次有規則2：一方每次可以取的石子數依賴于對手剛才取的石子數。

這個游戲叫做Fibonacci Nim，肯定和Fibonacci數列：f[n]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… 有密切的關系。如果試驗一番之后，可以猜測：先手勝當且僅當n不是Fibonacci數。換句話說，必敗態構成Fibonacci數列。

就像“Wythoff博弈”需要“Beatty定理”來幫忙一樣，這里需要借助“Zeckendorf定理”（齊肯多夫定理）：任何正整數可以表示為若干個不連續的Fibonacci數之和。

先看看FIB數列的必敗證明：

1、當i=2時，先手只能取1顆，顯然必敗，結論成立。

2、假設當i<=k時，結論成立。

???? 則當i=k+1時，f[i] = f[k]+f[k-1]。

???? 則我們可以把這一堆石子看成兩堆，簡稱k堆和k-1堆。

??? （一定可以看成兩堆，因為假如先手第一次取的石子數大于或等于f[k-1]，則后手可以直接取完f[k]，因為f[k] < 2*f[k-1]）

???? 對于k-1堆，由假設可知，不論先手怎樣取，后手總能取到最后一顆。下面我們分析一下后手最后取的石子數x的情況。

???? 如果先手第一次取的石子數y>=f[k-1]/3，則這小堆所剩的石子數小于2y，即后手可以直接取完，此時x=f[k-1]-y，則x<=2/3*f[k-1]。

???? 我們來比較一下2/3*f[k-1]與1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]與3*f[k]的大小，由數學歸納法不難得出，后者大。

???? 所以我們得到，x<1/2*f[k]。

???? 即后手取完k-1堆后，先手不能一下取完k堆，所以游戲規則沒有改變，則由假設可知，對于k堆，后手仍能取到最后一顆，所以后手必勝。

???? 即i=k+1時，結論依然成立。

對于不是FIB數，首先進行分解。
分解的時候，要取盡量大的Fibonacci數。

比如分解85：85在55和89之間，于是可以寫成85=55+30，然后繼續分解30,30在21和34之間，所以可以寫成30=21+9，

依此類推，最后分解成85=55+21+8+1。

則我們可以把n寫成? n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）

我們令先手先取完f[ap]，即最小的這一堆。由于各個f之間不連續，則a(p-1) > ap? + 1，則有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]這一堆，且不能一次取完。

此時后手相當于面臨這個子游戲（只有f[a(p-1)]這一堆石子，且后手先取）的必敗態，即先手一定可以取到這一堆的最后一顆石子。

同理可知，對于以后的每一堆，先手都可以取到這一堆的最后一顆石子，從而獲得游戲的勝利。

posted on 2013-01-07 18:18 symons 閱讀(...) 評論(...) 編輯 收藏

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總結

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