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在一般的模式識(shí)別問題中，人們的目標(biāo)往往是盡量減少分類的錯(cuò)誤，追求最小的錯(cuò)誤率。根據(jù)之前的文章，即求解一種決策規(guī)則，使得：

minP(e)=∫P(e|x)p(x)dx
這就是 最小錯(cuò)誤率貝葉斯決策 。

在上式中，P(e|x)≥0,p(x)≥0對(duì)于所有的x均成立，故minP(e)等同于對(duì)所有的x最小化P(e|x)，即：使后驗(yàn)概率P(wi|x)最大化。根據(jù)貝葉斯公式：?

P(wi|x)=p(x|wi)P(wi)p(x)=p(x|wi)P(wi)∑kj=1p(x|wj)P(wj),i=1,2,...,k

在上式中，對(duì)于所有類別，分母都是相同的，所以決策的時(shí)候?qū)嶋H上只需要比較分子，即：?

若p(x|wi)P(wi)=maxkj=1P(wj|x)P(wi),則x∈wi
先驗(yàn)概率 P(wi) 和類條件概率密度 p(x|wi) 是已知的。概率密度 p(x|wi) 反應(yīng)了在 wi 類中觀察到特征值x的相對(duì)可能性（ likelihood ）。

舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子還說(shuō)明最小錯(cuò)誤貝葉斯決策。?
假設(shè)某地區(qū)檢測(cè)到細(xì)胞為正常細(xì)胞的概率w1和癌細(xì)胞的概率w2分別為：?

w1=0.9,w2=0.1
現(xiàn)在對(duì)于一個(gè)待決策的細(xì)胞，其特征的觀察之為 x ，且從類條件概率密度曲線上分別查得：?
p(x|w1)=0.2,p(x|w2)=0.4
現(xiàn)在需要對(duì)該細(xì)胞進(jìn)行決策，判斷是正常細(xì)胞還是癌細(xì)胞。根據(jù)貝葉斯公式，分別計(jì)算出 w1 和 w2 的后驗(yàn)概率：?
P(w1|x)=p(x|w1)P(w1)∑2j=1p(x|wj)P(wj)=0.2×0.90.2×0.9+0.4×0.1=0.818
P(w2|x)=1?P(w1|x)=0.182
因?yàn)?#xff1a; P(w1|x)=0.818>0.182=P(w2|x) ，所以更合理的決策是將 x 歸類為 w1 ，即正常細(xì)胞。

說(shuō)白了，貝葉斯決策就是將待分類物x歸類于最大后驗(yàn)概率的那一類，即：?

若P(wi|x)=maxj=1,...,cP(wj|x),則x∈wi
等價(jià)于： 若p(x|wi)P(wi)=maxkj=1P(wj|x)P(wi),則x∈wi ?
貝葉斯公式是用來(lái)計(jì)算后驗(yàn)概率的工具。

對(duì)于多類別決策，錯(cuò)誤率的計(jì)算量較大，可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算平均正確率P(c)來(lái)計(jì)算錯(cuò)誤率：?

P(e)=1?P(c)=1?∑j=1kP(x∈Ri|wj)P(wj)1?∑j=1kP(wj)∫Rjp(x|wj)dx

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最小错误率贝叶斯决策的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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