題目鏈接

第$1$問

設(shè)$g(i)$為當(dāng)有$i$個(gè)葉節(jié)點(diǎn)時(shí)，樹的葉節(jié)點(diǎn)的平均深度的期望值。

假如現(xiàn)在有$(i-1)$個(gè)葉節(jié)點(diǎn)，現(xiàn)在要等概率地展開一個(gè)葉節(jié)點(diǎn)，那么展開的那個(gè)葉節(jié)點(diǎn)的期望深度為$g(i-1)$，展開后那兩個(gè)新的葉節(jié)點(diǎn)的期望深度均為$(g(i-1)+1)$，葉節(jié)點(diǎn)深度總和的期望值增加了$(g(i-1)+2)$。

所以，$g(i)=\dfrac{(i-1)g(i-1)+g(i-1)+2}{i}=g(i-1)+\dfrac{2}{i}$

邊界：$g(1)=0$

第$2$問

?設(shè)$f(i,j)$為當(dāng)有$i$個(gè)葉節(jié)點(diǎn)時(shí)，樹的深度大于等于$j$的概率。

假設(shè)現(xiàn)在有$i$個(gè)葉節(jié)點(diǎn)，樹的深度大于等于$j$。

考慮枚舉根節(jié)點(diǎn)左子樹中葉節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，假設(shè)有$k$個(gè)，則根節(jié)點(diǎn)右子樹中葉節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為$(i-k)$個(gè)。

現(xiàn)在要計(jì)算生成這樣一棵樹的概率是多少。

我們不妨先計(jì)算生成這樣一棵樹有多少種方案。

對(duì)于第一次展開，一定是展開根節(jié)點(diǎn)。

第一次展開后，左子樹中還要展開$(k-1)$次，右子樹中還要展開$(i-k-1)$次。

顯然，從一個(gè)節(jié)點(diǎn)開始，展開$x$次的方案數(shù)有$x!$種。

那么，左子樹展開的方案數(shù)即有$(k-1)!$種，右子樹展開的方案數(shù)即有$(i-k-1)!$種。

對(duì)于每一次展開，我們既可以展開左子樹中的葉節(jié)點(diǎn)，也可以展開右子樹中的葉節(jié)點(diǎn)。

綜上，生成一棵這樣的樹的方案數(shù)為

$(k-1)!(i-k-1)!C_{k-1+i-k-1}^{k-1}=(k-1)!(i-k-1)!\dfrac{(i-2)!}{(k-1)!(i-k-1)!}=(i-2)!$

所以，生成一棵根節(jié)點(diǎn)的左子樹中有$k$個(gè)葉節(jié)點(diǎn)，右子樹中有$(i-k)$個(gè)葉節(jié)點(diǎn)的樹的方案數(shù)為$(i-2)!$，與$k$無關(guān)。

因?yàn)?1\leqslant k?\leqslant i-1$且$k$為整數(shù)，且對(duì)于每一個(gè)$k$，方案數(shù)均為$(i-2)!$。

所以，生成一棵根節(jié)點(diǎn)的左子樹中有$k$個(gè)葉節(jié)點(diǎn)，右子樹中有$(i-k)$個(gè)葉節(jié)點(diǎn)的樹的概率為$\dfrac{1}{i-1}$。

接著我們就來考慮，對(duì)于一棵根節(jié)點(diǎn)的左子樹中有$k$個(gè)葉節(jié)點(diǎn)，右子樹中有$(i-k)$個(gè)葉節(jié)點(diǎn)的樹，樹的深度大于等于$j$的概率是多少。

顯然為$f(k,j-1)+f(i-k,j-1)-f(k,j-1)\cdot f(i-k,j-1)$

所以$f(i,j)=\sum\limits_{k=1}^{i-1}(f(k,j-1)+f(i-k,j-1)-f(k,j-1)\cdot f(i-k,j-1))\cdot\dfrac{1}{i-1}$?

邊界：$f[i][0]=1(1\leqslant i \leqslant n)$

$ans=\sum\limits_{i=1}^{n-1}i(f(n,i)-f(n,i+1))$

#include<iostream> #include<cstdio>using namespace std;double g[105],f[105][105]; int main() {int q=0,n=0;scanf("%d%d",&q,&n);if(q==1){g[1]=0;for(int i=2;i<=n;i++)g[i]=g[i-1]+(double)2/i;printf("%.6f",g[n]);}if(q==2){for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=1;for(int i=2;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i-1;j++)for(int k=1;k<=i-1;k++)f[i][j]+=(f[k][j-1]+f[i-k][j-1]-f[k][j-1]*f[i-k][j-1])/(i-1);double ans=0;for(int i=1;i<=n-1;i++)ans+=i*(f[n][i]-f[n][i+1]);printf("%.6f",ans);}return 0; } Luogu P3830

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總結(jié)

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