費馬小定理新手入門+總結

縱有疾風起

前言

最近新手的我做了幾個和快速冪有關的題目，發現他們還經常和費馬小定理聯系在一起，所以有必要寫一篇文章來總結一下費馬小定理，以便后面更好的學習。

內容介紹

費馬小定理是數論中的一個重要定理，再1636年提出。

?核心：如果p是一個質數，并且整數a不是p的倍數，則有公式：\(a^{p-1}\equiv1(mod\ p)\)。

定理應用

那么問題來了，這個定理該怎么應用呢？

這里舉一個題目來進行說明。

Sum HDU - 4704

這個題目大體的意思是說輸入一個數N，求N被拆分成若干個正整數的結果，注意 1+2 和 2+1算作兩種。N很大，需要使用數組進行存儲。

輸出的結果可能很大，需要mod 1e9+7，注意這個數是一個質數，正好符合費馬小定理的要求。

題目解答

隔板原理+組合數求和公式

\(1-N\)有N個元素，每個元素代表一個，分成K個數，即在\((N-1)\)個空擋里放置\(（K-1）\)塊隔板（最多放置N-1個擋板）。

即求組合數\(，C(0,N-1)+C(1,N-1)+...+C(N-1，N-1)\)的和，根據二項式定理，這個和為\(2^{n-1}\)

使用費馬小定理

因為N很大，所以需要使用費馬小定理來進行降冪

\[ 2^{n-1}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)+k(p-1)}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)}mod(p)*2^{k*(p-1)}mod(p) \tag{2.1} \]

又因為p是一個質數，且2和p互質，那么就可以使用費馬小定理了，即

\[ 2^{k*(p-1)}mod(p)=1 \tag{2.2} \]

這樣將\(公式(2.2)公式\)帶入到\(公式(2.1)公式\)中得到

\[ 2^{n-1}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)}=2^{(n-1)mod(p-1)} \tag{2.3} \]

于是計算就變得比較簡單了。

快速冪進行求取\(2^{(n-1)mod(p-1)}\)的值

快速冪的復雜度為\(O(lgN)\)

代碼展示

• #include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #include<algorithm>using namespace std; typedef long long ll; const ll mod=1e9+7; const ll maxn=1e8; char str[maxn];ll qpow(ll a) //快速冪的模板 {ll ans=1, base=2; //base存儲基數，這里可以調整不同的數while(a){if(a&1){ans=ans*base%mod;}base=(base*base)%mod; //注意這里如果基數是2的情況下，不能使用base=(base<<1)%mod//因為這里有mod，所以寫法目前是唯一的，就是代碼中的寫法。a>>=1;}return ans%mod; } int main() {while(scanf("%s", str)!=EOF){ll num=0, len=strlen(str);for(int i=0; i<len; i++)num=(num*10 + str[i]-'0') % (mod-1); //這就是對2的指數的化簡，使用費馬小定理printf("%lld\n", qpow(num-1));}return 0;}

總結

\[ 2^{p-1}=1(mod\ p) \]

費馬小定理最重要的一點是p（模數）必須是質數，并且與a（底數）互質，只有這樣才能使用。

使用這個定理的目的主要是降低計算的復雜度。

也可以用于某些數論方面的題目，這個目前自己用的比較少，不是很清楚。

END

轉載于:https://www.cnblogs.com/alking1001/p/11196510.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的费马小定理入门的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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