已知$f(x)=lnx-ax$

(1)求$f(x)$的單調區間

(2)已知$f(x)$有2個零點$x_{1}、x_{2}$證明:$\frac{1}{lnx_{1}}+\frac{1}{lnx_{2}}≥2$

$\textbf{解}$

(1)$f(x)$定義域為$(0，+∞)$

當$a=0$時，$f(x)=lnx$是單調遞增函數

當$a≠0$時

$$f'(x)=\frac{1}{x}-a$$

令$f'(x)=0$，$1-ax=0,x=\frac{1}{a}$

當$a＞0$時，$(0,\frac{1}{a})$單調遞增，($\frac{1}{a}$,+∞)單調遞減?

當$a＜0$時，$f'(x)＜0$時，所以$f(x)$單調遞增

$f(x)=lnx-ax$

不妨令$0＜x_{1}＜x{2}$

則$$lnx_{1}-ax_{1}=0$$ $$lnx_{2}-ax_{2}=0$$ $$lnx_{1}=ax_{1}$$ $$lnx_{2}=ax_{2}$$ 兩式相加$$lnx_{1}+lnx_{2}=a(x_{1}+x_{2})$$ 兩式相減$$lnx_{2}-lnx_{1}=a(x_{2}-x_{1})$$ $$\frac{1}{a}=\frac{x_{2}-x_{1}}{lnx_{2}-lnx_{1}}$$ 要證$$\frac{1}{lnx_{1}}+\frac{1}{lnx_{2}}≥2$$

只需證$$\frac{1}{ax_{1}}+\frac{1}{ax_{2}}-2≥0$$

即證$$(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}})\frac{x_{2}-x_{1}}{lnx_{2}-lnx{1}}-2≥0$$

同時÷$x_{1}$得到 $$\frac{\frac{x_{2}}{x_{1}}-\frac{x_{1}}{x_{2}}}{ln\frac{x_{2}}{x_{1}}}-2≥0$$ 令$\frac{x_{2}}{x_{1}}=t$，其中$t＞1$

即證$$t-\frac{1}{t}-2lnt≥0$$成立 令$g(t)=t-\frac{1}{t}-2lnt$

$$g'(t)=1+\frac{1}{t^{2}}-\frac{2}{t}$$ $$=\frac{(t-1)^{2}}{t^{2}}≥0$$ 所以$g(t)$單調遞增

即$$g(t)＞g(1)=0$$ 即$$\frac{1}{lnx_{1}}+\frac{1}{lnx_{2}}≥2$$ 證畢

?

$\textbf{變式}$

已知函數$f(x)=lnx-ax^{2}$

(1)討論$f(x)$單調性

(2)若$f(x)$有兩個零點，$x_{1}、x_{2}$，證明$x_{1}x_{2}＞e$

轉載于:https://www.cnblogs.com/Keyon-16/p/10334498.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高考数学经典题(001)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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