矩阵快速幂的一份小结
矩陣真是個好東西！雖然矩乘的復雜度有點難看... ...
這幾天也做了不少矩陣題目，還是有幾道好題目的。不過我打算從入門開始。
- 矩陣乘法：A[i][k]*B[k][j]=C[i][j];(A的第i行的每項依次乘以B的第j列的每項的和)
很顯然這是一個n^3的算法，還是比較難看的。
代碼就差不多是這樣了。
struct Matrix{int T[51][51];}; Matrix Mul(Matrix a,Matrix b,int I,int K,int J) {Matrix S=S0;for(int i=1;i<=I;++i)for(int j=1;j<=J;++j)for(int k=1;k<=K;++k)S.T[i][j]=(S.T[i][j]+a.T[i][k]*b.T[k][j]%Mod)%Mod;return S; }?
然后我們發現矩乘有一些性質：
所以矩乘是可以用來快速冪的!
- 一些題目
題型1.手推矩陣+快速冪
這類題目很多，簡單的有求斐波那契數列第多少多少項，難的也有，一般難題重點不在矩陣上。
舉幾個栗子：
1.斐波那契數列?
剛才奶到的求第n項的問題。初始矩陣為
| 1 | 0 |
| 0 | 0 |
?
轉移矩陣為
| 1 | 1 |
| 1 | 0 |
?
代碼就大概長這樣。矩乘的基本操作了。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <vector> #include <cstring> #include <queue> #define LL long long int #define ls (x << 1) #define rs (x << 1 | 1) #define MID int mid=(l+r)>>1 using namespace std; int n,Mod,ans[2][3][3],S[3][3]; int gi() {int x=0,res=1;char ch=getchar();while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return x*res; } void calc(int a,int b) {for(int i=1;i<=2;++i)for(int j=1;j<=2;++j)for(int k=1;k<=2;++k)S[i][j]=(S[i][j]+ans[a][i][k]*ans[b][k][j])%Mod;for(int i=1;i<=2;++i)for(int j=1;j<=2;++j)ans[a][i][j]=S[i][j],S[i][j]=0; } int Qpow(int z) {for(;z;z>>=1){if(z&1)calc(0,1);calc(1,1);}return ans[0][1][1]; } int main() {int T=gi();while(T--){n=gi();Mod=gi();if(n==0){printf("0\n");continue;}ans[0][1][1]=1;ans[0][1][2]=0;ans[0][2][1]=0;ans[0][2][2]=0;ans[1][1][1]=1;ans[1][1][2]=1;ans[1][2][1]=1;ans[1][2][2]=0;S[1][1]=S[1][2]=S[2][1]=S[2][2]=0;printf("%d\n",Qpow(n));}return 0; }?
?
?
2.Xn數列
題目大意就是給你一個A[n+1]=pA[n]+q的簡單數列，求(第n項mod m)mod g;
構造等比數列什么的出去，泥萌已經過時了。
手玩方程構造出矩陣。初始矩陣是2*2的?
| x0 | ?C |
| 0 | 0 |
?
轉移矩陣也是2*2的
| a | 0 |
| 1 | 1 |
? 剩下的也就那樣了。我也不知道為什么是大師的題目。
哦對了矩陣乘法要用龜速乘，不然會爆。
2.要根據輸入處理轉移矩陣。
1.沼澤鱷魚
來我們理理思路。
最暴力的暴力都會打吧，隨便怎么樣的DFS或者BFS。或者你還可以加個記憶化。
然后是一些特殊的點。在沒有任何一只鱷魚的情況下我們就可以用矩陣乘法——初始矩陣是1×n的，(1,ST)=1，其他點都是0的矩陣。轉移矩陣就是n*n對應的鄰接矩陣。（手玩體會感受一下它的轉移）。
下面就是對鱷魚的處理了。鱷魚在那個點的話，就不能走到嘛。所以這個轉移矩陣的那個對應的"1"就要變成"0"。處理完這一秒之后這樣就變成了這一步的轉移矩陣。這樣每次都在鄰接矩陣基礎上修改轉移矩陣，也能得到正確的答案。但我們沒有控制1s的能力，這樣會T。
再看看，發現魚的線路是有規律的，有周期的，而且只有2,3,4三種周期。所以12s后的轉移矩陣和12s前的是相同的——一個循環結出現了！于是我們興高采烈地用上矩陣乘法結合律，把一個循環結乘成一個矩陣，快速冪就好了。至于剩下的一點點余數，暴力就可以啦，反正也就那么點點東西。
?
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <algorithm> #define LL long long int using namespace std; struct Matrix{int T[51][51];}S0,Tx[20],Alt,Ans; int n,m,st,ed,KKK,Fish,Map[20][99],map[99][99]; int gi() {int x=0,res=1;char ch=getchar();while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return x*res; } Matrix Mul(Matrix a,Matrix b,int I,int K,int J) {Matrix S=S0;for(int i=1;i<=I;++i)for(int j=1;j<=J;++j)for(int k=1;k<=K;++k)S.T[i][j]=(S.T[i][j]+a.T[i][k]*b.T[k][j]%10000)%10000;return S; } Matrix Qpow(int z) {Matrix d=Ans,f=Alt;for(;z;z>>=1,f=Mul(f,f,n,n,n))if(z&1)d=Mul(d,f,1,n,n);return d; } int main() {n=gi();m=gi();st=gi()+1;ed=gi()+1;KKK=gi();for(int i=1;i<=m;++i){int u=gi()+1,v=gi()+1;map[u][v]=map[v][u]=1;}Fish=gi();for(int i=1;i<=Fish;++i){int T=gi();for(int j=0;j<T;++j){int x=gi()+1;for(int k=j;k<12;k+=T)Map[k][x]=1;}}for(int t=0;t<12;++t)for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(map[i][j] && !Map[(t+1)%12][j])Tx[t].T[i][j]=1;Alt=Tx[0];Ans.T[1][st]=1;for(int i=1;i<12;++i)Alt=Mul(Alt,Tx[i],n,n,n);Ans=Qpow(KKK/12);for(int t=0,s=KKK%12;t<s;++t)Ans=Mul(Ans,Tx[t%12],1,n,n);printf("%d",Ans.T[1][ed]);return 0; }2.GT考試(光頭考試)
題面就是要你找有多少種沒出現過一個數字串的數字串。
方案，取膜，匹配，想到DP。
設狀態。想知道有沒有出現過，就要知道有沒有匹配到m位。所以狀態就是[i,j]，表示主串匹配到第i位，小串匹配到第j位。答案就是sigma F[n,i],i from 1 to m-1；
想轉移。F[i,j]表示的既然是最多能匹配到的位置，那就必須用到KMP來求匹配的最長前綴。先預處理出來。轉移就明顯了，把上一次j的加到這一次相應的j'里面就好。這么做固然是正確的，但是會T，N<=10^9... ...
找優化。我們發現沒一次的轉移都可以寫成f[i+1,J]=f[i,j1]*...+f[i,j2]*...+...——一階行列式！矩陣乘法！快速冪！(想想鱷魚沼澤那題，沒有鱷魚的情況就是一個一樣的一階行列式)。快速冪碼完走人。
總結：這題思維和代碼都是有的，還要用到KMP這種東西。B站上一次過，在校內OJ被某無良WG卡了輸入... ...
?
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <vector> #include <cstring> #include <queue> #define LL long long int #define ls (x << 1) #define rs (x << 1 | 1) using namespace std; struct Matrix{int T[22][22];}S0,ST,Inv; int N,M,Mod,Next[25],Hash[200],A[200],Ans; int gi() {int x=0,res=1;char ch=getchar();while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return x*res; } LL gl() {LL x=0,res=1;char ch=getchar();while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')res*=-1;ch=getchar();}while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return x*res; } Matrix Mul(Matrix a,Matrix b,int I,int K,int J) {Matrix S=S0;for(int i=0;i<I;++i)for(int j=0;j<J;++j)for(int k=0;k<K;++k)S.T[i][j]=(S.T[i][j]+a.T[i][k]*b.T[k][j]%Mod)%Mod;return S; } Matrix Qpow(Matrix d,int z,int len) {Matrix ans=S0;for(int i=0;i<len;++i)ans.T[i][i]=1;for(;z;z>>=1,d=Mul(d,d,len,len,len))if(z&1)ans=Mul(ans,d,len,len,len);return ans; } int main() {N=gi();M=gi();Mod=gi();for(int i=1;i<=M;++i)A[i]=getchar()-'0';Next[1]=0;ST.T[0][0]=1;for(int i=2,j=0;i<=M;++i){while(j&&A[j+1]!=A[i])j=Next[j];if(A[j+1]==A[i])++j;Next[i]=j;}for(int i=0;i<M;++i)for(int j=0;j<10;++j){int x=i;while(x && A[x+1]!=j)x=Next[x];if(A[x+1]==j)Inv.T[i][x+1]=(Inv.T[i][x+1]+1)%Mod;else Inv.T[i][0]=(Inv.T[i][0]+1)%Mod;}Inv=Qpow(Inv,N,M);ST=Mul(ST,Inv,M,M,M);for(int i=0;i<M;++i)Ans=(Ans+ST.T[0][i])%Mod;printf("%d\n",Ans);return 0; }?
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上面幾題都是很水的題目了(by An***大佬，我知道他不會看見)，祝大家統統成神犇！
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轉載于:https://www.cnblogs.com/fenghaoran/p/6575311.html
總結
以上是生活随笔為你收集整理的矩阵快速幂的一份小结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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