快速排序

和歸并排序一樣，也是采用分治(Divide and Conquer)思想。分為三步：

分解：將數組A[p...q]劃分成兩個數組A[p..r-1]和A[r+1..q]，使得A[p..r-1]中的每個元素都小于等于A[r]，并且A[r+1..q]中所有元素大于等于A[r]，A[r]稱為主元。

解決：遞歸調用快速排序，對兩個子數組進行排序

合并：不需要合并操作，子數組采用原址排序，已經有序。

和歸并排序相比，歸并排序主要工作在于合并操作，而快速排序在于劃分。劃分數組的過程如下描述

PARTITION(A,p,q)x = A[p]i = p;for j = p+1 to qif A[j] <= xi = i+1exchange A[i] A[j]exchange A[p] A[i]

詳細的劃分過程如圖所示

經過一次partition劃分，分成兩個數組A[p..r-1]和A[r+1..q]，使得A[p..r-1]中的每個元素都小于等于A[r]，并且A[r+1..q]中所有元素大于等于A[r]，r為partition的返回值

將數組A進行劃分的關鍵代碼

private int partition(int[] a, int p, int q) {int i = p, j = p + 1;while (j <= q) {if (a[j] <= a[p]) {i++;swap(a, i, j);}j++;}swap(a, i, p);return i;}

于是，快速排序的算法描述為

public static void quickSort(int[] a, int p, int q) {if (p < q) {int r = partition(a, p, q);quickSort(a, p, r - 1);quickSort(a, r + 1, q);}}

快速排序的性能：

快速排序在再壞情況下，運氣實在糟透了，每次都出現不平等的劃分，將其劃分成了1個元素和n-1個元素，于是有T(n)=T(n-1)+T(1)+θ(n)，則：T(n)=O(n^2)

最好情況下,我們假設每次劃分都是平等劃分，即T(n)=2T(n/2)+θ(n)，于是T(n)=O(nlgn).

可以證明，只要是常數比例的劃分，算法的運行時間都是T(n)=O(nlgn)。因此，快速排序的平均運行時間更接近于其最好情況而不是最壞情況。

為了保證每次劃分出現常數比例的劃分，在算法中引入隨機性。

private int randomPartition(int[] a, int p, int q) {int i = (int) (Math.random() * (q - p) + p);swap(a, p, i);return partition(a, p, q);}

可以證明，快速排序的期望運行時間為T(n)=O(nlgn)，最壞運行時間為T(n)=O(n^2)

同時，快速排序也是不穩定的排序算法，例如A=[2，3，1，2]，經過第一次劃分后，劃分為[2，1，2，3]，這時的r位于下標2處，且與A中的兩個2的順序相比已經交換過一次了。兩個2逆序。

關于找數組第k小的數

其實沒看算法的時候我覺得需要排序，然后可以在O(1)的時間里面找到第k小的數，學習了算法就不能犯這樣的錯誤啦，常用的好的排序算法比如快速排序，它的時間復雜度為O(nlogn)。事實上我們可以在O(n)的時間內找到數組的第k小的元素。

答案就在上面講的快速排序中，事實上，在上面的快速排序的劃分過程中其實已經產生了第K小的數。

可以參考下圖所示

獲得數組第k小的數的關鍵代碼

public static int getKthValue(int[] a, int p, int q, int k) {if (p == q) return a[p];int r = randomPartition(a, p, q);int i = r - p + 1;// r是當前序列里面第i小的數字if (i == k) {return a[r];} else if (k < i) {return getKthValue(a,p,r-1,k);} else return getKthValue(a,r+1,q,k - i);}這種算法的時間復雜度可以達到期望為線性。E[T(n)]=O(n)

轉載于:https://www.cnblogs.com/qhyuan1992/p/5385285.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【算法】快速排序/数组第K小的元素的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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