import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import cv2 %matplotlib inline

首先讀入這次需要使用的圖像

img = cv2.imread('apple.jpg',0) #直接讀為灰度圖像 plt.imshow(img,cmap="gray") plt.axis("off") plt.show()

使用numpy帶的fft庫完成從頻率域到空間域的轉換。

f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f)

低通濾波器

低通濾波器的公式如下
\[ H(u,v)= \begin{cases} 1, & \text{if $D(u,v)$ } \leq D_{0}\\ 0, & \text{if $D(u,v)$} \geq D_{0} \end{cases} \]
其中\(D(u,v)\)為頻率域上\((u,v)\)點到中心的距離，\(D_0\)由自己設置

白點就是所允許通過的頻率范圍
3d圖像如下

我們先把蘋果轉化成頻率域看下效果

#取絕對值：將復數變化成實數 #取對數的目的為了將數據變化到0-255 s1 = np.log(np.abs(fshift)) plt.subplot(121),plt.imshow(s1,'gray') plt.title('Frequency Domain') plt.show()

matplotlib對于不是uint8的圖像會自動把圖像的數值縮放到0-255上，更多可以查看對該問題的討論

我們在頻率域上試著取不同的\(d_0\)再將其反變換到空間域看下效果

def make_transform_matrix(d,image):transfor_matrix = np.zeros(image.shape)center_point = tuple(map(lambda x:(x-1)/2,s1.shape))for i in range(transfor_matrix.shape[0]):for j in range(transfor_matrix.shape[1]):def cal_distance(pa,pb):from math import sqrtdis = sqrt((pa[0]-pb[0])**2+(pa[1]-pb[1])**2)return disdis = cal_distance(center_point,(i,j))if dis <= d:transfor_matrix[i,j]=1else:transfor_matrix[i,j]=0return transfor_matrixd_1 = make_transform_matrix(10,fshift) d_2 = make_transform_matrix(30,fshift) d_3 = make_transform_matrix(50,fshift)

設定距離分別為10,30，50其通過的頻率的范圍如圖

plt.subplot(131) plt.axis("off") plt.imshow(d_1,cmap="gray") plt.title('D_1 10') plt.subplot(132) plt.axis("off") plt.title('D_2 30') plt.imshow(d_2,cmap="gray") plt.subplot(133) plt.axis("off") plt.title("D_3 50") plt.imshow(d_3,cmap="gray") plt.show()

img_d1 = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_1))) img_d2 = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_2))) img_d3 = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_3))) plt.subplot(131) plt.axis("off") plt.imshow(img_d1,cmap="gray") plt.title('D_1 10') plt.subplot(132) plt.axis("off") plt.title('D_2 30') plt.imshow(img_d2,cmap="gray") plt.subplot(133) plt.axis("off") plt.title("D_3 50") plt.imshow(img_d3,cmap="gray") plt.show()

講上面過程整理得到頻率域低通濾波器的代碼如下

def lowPassFilter(image,d):f = np.fft.fft2(image)fshift = np.fft.fftshift(f)def make_transform_matrix(d):transfor_matrix = np.zeros(image.shape)center_point = tuple(map(lambda x:(x-1)/2,s1.shape))for i in range(transfor_matrix.shape[0]):for j in range(transfor_matrix.shape[1]):def cal_distance(pa,pb):from math import sqrtdis = sqrt((pa[0]-pb[0])**2+(pa[1]-pb[1])**2)return disdis = cal_distance(center_point,(i,j))if dis <= d:transfor_matrix[i,j]=1else:transfor_matrix[i,j]=0return transfor_matrixd_matrix = make_transform_matrix(d)new_img = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_matrix)))return new_img plt.imshow(lowPassFilter(img,60),cmap="gray")

高通濾波器

高通濾波器同低通濾波器非常類似，只不過二者通過的波正好是相反的
\[ H(u,v)= \begin{cases} 0, & \text{if $D(u,v)$ } \leq D_{0}\\ 1, & \text{if $D(u,v)$} \geq D_{0} \end{cases} \]

def highPassFilter(image,d):f = np.fft.fft2(image)fshift = np.fft.fftshift(f) def make_transform_matrix(d):transfor_matrix = np.zeros(image.shape)center_point = tuple(map(lambda x:(x-1)/2,s1.shape))for i in range(transfor_matrix.shape[0]):for j in range(transfor_matrix.shape[1]):def cal_distance(pa,pb):from math import sqrtdis = sqrt((pa[0]-pb[0])**2+(pa[1]-pb[1])**2)return disdis = cal_distance(center_point,(i,j))if dis <= d:transfor_matrix[i,j]=0else:transfor_matrix[i,j]=1return transfor_matrixd_matrix = make_transform_matrix(d)new_img = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_matrix)))return new_img img_d1 = highPassFilter(img,10) img_d2 = highPassFilter(img,30) img_d3 = highPassFilter(img,50) plt.subplot(131) plt.axis("off") plt.imshow(img_d1,cmap="gray") plt.title('D_1 10') plt.subplot(132) plt.axis("off") plt.title('D_2 30') plt.imshow(img_d2,cmap="gray") plt.subplot(133) plt.axis("off") plt.title("D_3 50") plt.imshow(img_d3,cmap="gray") plt.show()

顯然當\(D_0=10\)時，蘋果的邊緣最清楚

不同濾波的比較

import imagefilter thread_img = imagefilter.RobertsAlogrithm(img) laplace_img = imagefilter.LaplaceAlogrithm(img,"fourfields") mean_img = cv2.blur(img,(3,3)) plt.subplot(131) plt.imshow(thread_img,cmap="gray") plt.title("ThreadImage") plt.axis("off") plt.subplot(132) plt.imshow(laplace_img,cmap="gray") plt.axis("off") plt.title("LaplaceImage") plt.subplot(133) plt.imshow(mean_img,cmap="gray") plt.title("meanImage") plt.axis("off") plt.show()

空間域上的平均濾波和低通濾波一樣，只要起去掉無關信息，平滑圖像的作用。

Roberts，Laplace等濾波則起的提取邊緣的作用。

頻率域高通濾波器

高斯高通濾波器

頻率域高斯高通濾波器的公式如下
\[ H(u,v) = 1-e^{\dfrac{-D^2(u,v)}{2D_0^2}} \]

def GaussianHighFilter(image,d):f = np.fft.fft2(image)fshift = np.fft.fftshift(f)def make_transform_matrix(d):transfor_matrix = np.zeros(image.shape)center_point = tuple(map(lambda x:(x-1)/2,s1.shape))for i in range(transfor_matrix.shape[0]):for j in range(transfor_matrix.shape[1]):def cal_distance(pa,pb):from math import sqrtdis = sqrt((pa[0]-pb[0])**2+(pa[1]-pb[1])**2)return disdis = cal_distance(center_point,(i,j))transfor_matrix[i,j] = 1-np.exp(-(dis**2)/(2*(d**2)))return transfor_matrixd_matrix = make_transform_matrix(d)new_img = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_matrix)))return new_img

使用高斯濾波器d分別為10,30,50實現的效果

img_d1 = GaussianHighFilter(img,10) img_d2 = GaussianHighFilter(img,30) img_d3 = GaussianHighFilter(img,50) plt.subplot(131) plt.axis("off") plt.imshow(img_d1,cmap="gray") plt.title('D_1 10') plt.subplot(132) plt.axis("off") plt.title('D_2 30') plt.imshow(img_d2,cmap="gray") plt.subplot(133) plt.axis("off") plt.title("D_3 50") plt.imshow(img_d3,cmap="gray") plt.show()

高斯低通濾波器

頻率域高斯低通濾波器的公式如下
\[ H(u,v) = e^{\dfrac{-D^2(u,v)}{2D_0^2}} \]

def GaussianLowFilter(image,d):f = np.fft.fft2(image)fshift = np.fft.fftshift(f)def make_transform_matrix(d):transfor_matrix = np.zeros(image.shape)center_point = tuple(map(lambda x:(x-1)/2,s1.shape))for i in range(transfor_matrix.shape[0]):for j in range(transfor_matrix.shape[1]):def cal_distance(pa,pb):from math import sqrtdis = sqrt((pa[0]-pb[0])**2+(pa[1]-pb[1])**2)return disdis = cal_distance(center_point,(i,j))transfor_matrix[i,j] = np.exp(-(dis**2)/(2*(d**2)))return transfor_matrixd_matrix = make_transform_matrix(d)new_img = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_matrix)))return new_img img_d1 = GaussianLowFilter(img,10) img_d2 = GaussianLowFilter(img,30) img_d3 = GaussianLowFilter(img,50) plt.subplot(131) plt.axis("off") plt.imshow(img_d1,cmap="gray") plt.title('D_1 10') plt.subplot(132) plt.axis("off") plt.title('D_2 30') plt.imshow(img_d2,cmap="gray") plt.subplot(133) plt.axis("off") plt.title("D_3 50") plt.imshow(img_d3,cmap="gray") plt.show()

空間域的高斯濾波

通常空間域使用高斯濾波來平滑圖像，在上一篇已經寫過，直接使用上篇文章的代碼。

def GaussianOperator(roi):GaussianKernel = np.array([[1,2,1],[2,4,2],[1,2,1]])result = np.sum(roi*GaussianKernel/16)return resultdef GaussianSmooth(image):new_image = np.zeros(image.shape)image = cv2.copyMakeBorder(image,1,1,1,1,cv2.BORDER_DEFAULT)for i in range(1,image.shape[0]-1):for j in range(1,image.shape[1]-1):new_image[i-1,j-1] =GaussianOperator(image[i-1:i+2,j-1:j+2])return new_image.astype(np.uint8)new_apple = GaussianSmooth(img) plt.subplot(121) plt.axis("off") plt.title("origin image") plt.imshow(img,cmap="gray") plt.subplot(122) plt.axis("off") plt.title("Gaussian image") plt.imshow(img,cmap="gray") plt.subplot(122) plt.axis("off") plt.show()

巴特沃斯濾波器

無論是低通濾波器，高通濾波器都是粗暴的一刀切，正如之前那么多空間域的濾波器一樣，我們希望它通過的頻率和與中心線性相關。
\[ h(u,v) = \frac{1} {{1+(D_0 / D(u,v))}^{2n}} \]

def butterworthPassFilter(image,d,n):f = np.fft.fft2(image)fshift = np.fft.fftshift(f)def make_transform_matrix(d):transfor_matrix = np.zeros(image.shape)center_point = tuple(map(lambda x:(x-1)/2,s1.shape))for i in range(transfor_matrix.shape[0]):for j in range(transfor_matrix.shape[1]):def cal_distance(pa,pb):from math import sqrtdis = sqrt((pa[0]-pb[0])**2+(pa[1]-pb[1])**2)return disdis = cal_distance(center_point,(i,j))transfor_matrix[i,j] = 1/((1+(d/dis))**n)return transfor_matrixd_matrix = make_transform_matrix(d)new_img = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_matrix)))return new_img plt.subplot(231) butter_100_1 = butterworthPassFilter(img,100,1) plt.imshow(butter_100_1,cmap="gray") plt.title("d=100,n=1") plt.axis("off") plt.subplot(232) butter_100_2 = butterworthPassFilter(img,100,2) plt.imshow(butter_100_2,cmap="gray") plt.title("d=100,n=2") plt.axis("off") plt.subplot(233) butter_100_3 = butterworthPassFilter(img,100,3) plt.imshow(butter_100_3,cmap="gray") plt.title("d=100,n=3") plt.axis("off") plt.subplot(234) butter_100_1 = butterworthPassFilter(img,30,1) plt.imshow(butter_100_1,cmap="gray") plt.title("d=30,n=1") plt.axis("off") plt.subplot(235) butter_100_2 = butterworthPassFilter(img,30,2) plt.imshow(butter_100_2,cmap="gray") plt.title("d=30,n=2") plt.axis("off") plt.subplot(236) butter_100_3 = butterworthPassFilter(img,30,3) plt.imshow(butter_100_3,cmap="gray") plt.title("d=30,n=3") plt.axis("off") plt.show()

可以明顯的觀察出過大的n造成的振鈴現象

butter_5_1 = butterworthPassFilter(img,5,1) plt.imshow(butter_5_1,cmap="gray") plt.title("d=5,n=3") plt.axis("off") plt.show()

轉載于:https://www.cnblogs.com/lynsyklate/p/7932142.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python数字图像处理(四) 频率域滤波的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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