勾股定理

勾股定理

圓

圓形的概念的形成，是人類認知歷史上的一大里程碑。

圓周率

定義1

一個圓形的周長與直徑之比：

定義2

以圓形半徑為邊長作一正方形，然後把圓形面積和此正方形面積比。

圓與外接正方形

定義3

滿足

的最小正實數(shù)。

y=sin(x)

這里的正弦函數(shù)定義為冪級數(shù)

百度百科：圓周率

Tamar Friedmann and Carl Hagen 18世紀沃利斯發(fā)現(xiàn)的經(jīng)典圓周率公式

隨著能量的增加，從變分解的極限公式里，哈根和弗里德曼找到了沃利斯的圓周率公式。

量子力學(xué)理論在20世紀初期誕生，而沃利斯圓周率公式已經(jīng)存在了數(shù)百年，但這兩者之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)直到今天才被發(fā)現(xiàn)。

代數(shù)

π是個無理數(shù)，即不可表達成兩個整數(shù)之比，是由瑞士科學(xué)家約翰·海因里希·蘭伯特于1761年證明的。 1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更證明了π是超越數(shù)，即π不可能是任何整系數(shù)多項式的根。

圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規(guī)作圖問題的可能性，因所有尺規(guī)作圖只能得出代數(shù)數(shù)，而超越數(shù)不是代數(shù)數(shù)。

數(shù)學(xué)分析

Leibniz定理：

Wallis公式：

高斯積分：

A graph of the Gaussian function

The colored region between the function and the x-axis has area √π.

高斯分布

斯特林公式：

π的連分數(shù)表示：

數(shù)論

兩個任意自然數(shù)是互質(zhì)的概率是

任取一個任意整數(shù)，該整數(shù)沒有重復(fù)質(zhì)因子的概率為

一個任意整數(shù)平均可用

個方法寫成兩個完全數(shù)之和。

概率論

設(shè)我們有一個以平行且等距木紋鋪成的地板，隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針，求針和其中一條木紋相交的概率。這就是布豐投針問題。1777 年，布豐自己解決了這個問題——這個概率值是 1/π。

統(tǒng)計學(xué)

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：

圓的內(nèi)接正多邊形和外接正多邊形

π can be estimated by computing the perimeters of circumscribed and inscribed polygons.

古希臘大數(shù)學(xué)家阿基米德(公元前287–212 年) 開創(chuàng)了人類歷史上通過理論計算圓周率近似值的先河。阿基米德從單位圓出發(fā)，先用內(nèi)接正六邊形求出圓周率的下界為3，再用外接正六邊形并借助勾股定理求出圓周率的上界小于4。接著，他對內(nèi)接正六邊形和外接正六邊形的邊數(shù)分別加倍，將它們分別變成內(nèi)接正12邊形和外接正12邊形，再借助勾股定理改進圓周率的下界和上界。他逐步對內(nèi)接正多邊形和外接正多邊形的邊數(shù)加倍，直到內(nèi)接正96邊形和外接正96邊形為止。最后，他求出圓周率的下界和上界分別為223/71 和22/7， 并取它們的平均值3.141851 為圓周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和兩側(cè)數(shù)值逼近的概念，稱得上是“計算數(shù)學(xué)”的鼻祖。

公元263年，中國數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計算圓周率，他先從圓內(nèi)接正六邊形，逐次分割一直算到圓內(nèi)接正192邊形。他說“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”，包含了求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值，劉徽在得圓周率=3.14之后，將這個數(shù)值和晉武庫中漢王莽時代制造的銅制體積度量衡標準嘉量斛的直徑和容積檢驗，發(fā)現(xiàn)3.14這個數(shù)值還是偏小。于是繼續(xù)割圓到1536邊形，求出3072邊形的面積，得到令自己滿意的圓周率

公元480年左右，南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之進一步得出精確到小數(shù)點后7位的結(jié)果，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分數(shù)值，密率

和約率

歐拉公式

歐拉公式：

[Euler's formula](https://en.m.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula)

Euler's formula states that, for any [real number]



where e is the base of the natural logarithm, i is the imaginary unit, and cos and sin are the trigonometric functions cosine and sine respectively, with the argument x given in radians.

三角函數(shù)分析

微積分

使用微積分，我們將圓象洋蔥一樣分為薄圓環(huán)，遞增地求出面積。

對“洋蔥”，以 t 為半徑的無窮薄圓環(huán)，貢獻的面積是 2πt dt，周長的長度乘以其無窮小寬度。這樣對半徑為 r 的圓給出了一個初等積分：

宇宙運行軌道

萬有引力定律

電磁場方程

相對論

相對論的場方程：

量子力學(xué)

海森堡不確定性原理：

本文繪圖使用：http://zh.numberempire.com/graphingcalculator.php，在次感謝作者！

超強干貨來襲 云風(fēng)專訪：近40年碼齡，通宵達旦的技術(shù)人生

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的勾股定理·圓周率·無窮級數·微積分的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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