下面我們來講圖里面的最后一個(gè)內(nèi)容,最短路徑,我們已經(jīng)有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí),比如我在高德地圖里面駕車,給我多條路徑,實(shí)際上這三條路徑都是最短路徑,他們都是最短路徑,只不過是按照不同的標(biāo)準(zhǔn),不同標(biāo)準(zhǔn)比出的路徑,不見得是具體最短,也可能是擁堵最少,或者紅綠燈最少,那他怎么知道紅綠燈最少呢,他怎么知道擁堵最少呢,他怎么知道距離最短呢,就是靠各條邊的權(quán)值,就靠權(quán)值的,比如兩個(gè)點(diǎn)之間有一個(gè)權(quán)值代表距離,就好比,我要從a到e,如果3代表距離的話,我要找距離最短的,如果3代表?yè)矶鲁潭鹊脑?我要找擁堵值最少的,這是一個(gè),我們來解決這個(gè)問題,最短路徑,在很多應(yīng)用里面,帶權(quán)圖這個(gè)值是有作用的,用來描述整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的,比如通信網(wǎng)絡(luò),交通網(wǎng)絡(luò),交通網(wǎng)絡(luò)可以代表距離,可以代表紅綠燈,可以代表?yè)矶鲁潭?這種情況下,各邊的權(quán)重就對(duì)應(yīng)于兩點(diǎn)之間的通信的成本或交通的費(fèi)用,這個(gè)時(shí)候,就有一個(gè)典型的問題就是,在任何的兩點(diǎn)之間如果存在通路,那么最少的消耗是什么,這是一點(diǎn),這是一點(diǎn),他們中間其實(shí)還有很多點(diǎn),他們中間還有很多點(diǎn)的,他們并沒有直接相連,就好比一個(gè)是a,一個(gè)是e,他不是直接相連的,他們是通過其他節(jié)點(diǎn)串聯(lián)起來的,而連起來的,是這么來的,最短路徑,我們要求他們之間最少的消耗是多少,那在我們的圖里面,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)里面,我們用一個(gè)專門的名詞來解決這個(gè)問題,叫最短路徑,這是一個(gè)網(wǎng)絡(luò),比如交通網(wǎng),并且這個(gè)有方向的,有方向的什么意思,v1能到v2,v2就不能到v1,就不能到這兒,大家要記住,我們的目的是要從v1到v8,我要從v1到v8,你看這個(gè)路徑可多了去了,我想找里面的最短路徑,最短路徑里面有兩類,有人說我直接走,一個(gè)5,一個(gè)2,這里一個(gè)9,如果這個(gè)權(quán)代表時(shí)間的話,你這么看著直接走,你花的時(shí)間很多的,你花的時(shí)間很多,你要是換一個(gè)來說,你有時(shí)候發(fā)現(xiàn)走了好幾條邊,那可能還少呢,3,1,1三條邊權(quán)值加起來才是5,所以這一塊,從v1到v8,最短路徑是什么,有人說我一眼能看出來,你能看出來嗎估計(jì)夠嗆吧,北京的交通地鐵圖放在這兒,你能看出來嗎,看不出來,是不是要靠算法去算,靠計(jì)算機(jī)來計(jì)算,寫完代碼要計(jì)算,是這么來做的,我們把最短路徑分為兩大類來討論 第一類跟權(quán)值無關(guān)的,段數(shù)最少的最短路徑,生活案例就是換乘最少,最好是能這么來,這邊一上一個(gè)公交,一直把我拉到這兒來這是一個(gè)站,這是一個(gè)站,中間不用換乘,哪怕饒了非常遠(yuǎn),我也愿意,為什么,因?yàn)槲业男欣畋容^多,因?yàn)槲疫€有這個(gè)需求,因?yàn)槲业穆凡皇?我第一次來北京,我就想一上公交,就直接把我拉到目的地了,有這個(gè)需求嗎,是有的,換乘最少,我這個(gè)時(shí)候和你的時(shí)間,和你的擁堵有沒有關(guān)系,沒有關(guān)系,換乘最少就好,那這個(gè)怎么辦啊,跟上面的權(quán)值有沒有關(guān)系,沒有關(guān)系,我就看怎么跳,從v1到v3跳一次,v3到v6換一次,v6到v8就到了,怎么經(jīng)過的頂點(diǎn)少,就走哪一個(gè),這是一類問題,這個(gè)跟權(quán)值無關(guān),這個(gè)怎么來解決呢,只用廣度優(yōu)先搜索就可以了,注意我們這里寫的是廣度優(yōu)先搜索,沒有寫廣度優(yōu)先遍歷,還是有點(diǎn)差別的,基本道理是一樣的,它相當(dāng)于我們這個(gè)廣度優(yōu)先遍歷在這里的一個(gè)應(yīng)用,這是一個(gè)還有一個(gè),權(quán)值最少,可能是時(shí)間最少,也可能是距離最短,到底是時(shí)間最少還是距離最短呢,那就要看這個(gè)權(quán)值代表什么含義了,如果你這權(quán)值代表距離,那我就要找代表距離最短的,如果你的權(quán)值代表時(shí)間,我就要找時(shí)間最少的,知道我們?cè)谡f什么吧,然后我們就開始做了,看這一個(gè) 第一個(gè)問題特別簡(jiǎn)單,段數(shù)最少,換乘最少的,還是就相當(dāng)于樹的遍歷,需要借助隊(duì)列來實(shí)現(xiàn),怎么來辦呢,我們大家畫一下,跟我們剛才講的廣度優(yōu)先遍歷差不多,先畫一個(gè)隊(duì)列,隊(duì)列在這兒,先把誰放進(jìn)去,比如我們v1就不放了,因?yàn)槲覀兪菑膙1出發(fā)的,我們要的是段數(shù)最少我們來處理或者來看的話,我們就得從第一個(gè)開始看,你不能想當(dāng)然的想一個(gè),這樣不保險(xiǎn),大家不要想換乘最少,就快速的得到一個(gè)結(jié)果不可能的,還是的從第一個(gè),第二個(gè),他還是要經(jīng)過一系列的比較來實(shí)現(xiàn)的,那請(qǐng)問我們的v1要到哪些頂點(diǎn),與v1之間的相連的換乘點(diǎn),有哪些,有v2,我們就直接寫數(shù)了,v3,還有誰啊,還有v4,如果我到這三個(gè)頂點(diǎn)的話,相當(dāng)于我直接到了,直接到就可以了,但是你要好好看,234里面是不是8,不是,你先找到與v1相連的連接點(diǎn),看到他們是不是v8啊,不是,不是怎么辦,不是我們就得找,2你是我的目的地嗎,不是那如果從你這里出發(fā),一步直接到是不可能了,最好是換乘一次了,那好,與v2直接相連的有誰,有v5,有v6,是不是還有v3,那這個(gè)時(shí)候我們?cè)趺崔k,比如我們寫一個(gè)3,有人說我們這個(gè)3到底寫不寫,就看算法里面怎么實(shí)現(xiàn)了,反正這個(gè)3要標(biāo)記一下,就已經(jīng)訪問過的,我們要做一下相關(guān)標(biāo)記的,這個(gè)明確一下,比如我們3先寫到這里吧,先2已經(jīng)出去了,2肯定是已經(jīng)訪問過了,2是到不了的,與2相連的3還有多少5,6,到這兒,然后我們?cè)倏催@個(gè)3,3能不能直接到啊,3是不是我的目的地啊,不是我們的目的地,與3直接相鄰的有誰,有6,有4,還有沒有,沒有了吧,4是不是我們的目的地啊,不是,那如果我們通過4到的話,6和7,如果我們能夠到這3個(gè)頂點(diǎn)的話,可以直接到了,那現(xiàn)在我們是到不了的,因?yàn)?34都不是我們的8,那下面的頂點(diǎn)里面,如果包括我們的目的地,相當(dāng)于換乘一次就夠了,那我們來看唄3就已經(jīng)不考慮了,你之前已經(jīng)訪問過3了,5是不是我們的目的地啊,5不是8,那就5出去,5出去之前要做一件事,5可以到誰,5能到6嗎5到不了,是不是到不了,5能到8,這兒寫一個(gè)8就可以了,這兒寫一個(gè)8,然后我們?cè)賮砜?5出去了,6不是我們的目的地,但是6可以到7,到8,6可以到7也可以到8,我們?cè)诋嬤@個(gè)隊(duì)列了,這個(gè)6已經(jīng)不處理了,因?yàn)橐呀?jīng)處理過了,4處理過了,6處理過了,7可以到誰啊,7可以到8,如果你在這一段里面包括我們的目的地的話,相當(dāng)于中間換乘一次,第二次就直接到了,但是這里面有沒有啊,這里面沒有,那我們?cè)偻驴?8是我們的目的地嗎,那我們就可以達(dá)到了,換乘兩次就可以到,如果我們把問題變一下,我要從v1出發(fā),我要到v9,v9會(huì)怎么樣,這里面有沒有v9,沒有v9,你怎么知道沒有v9了,就是把我們隊(duì)列里所有的元素都走一遍,走到最后,隊(duì)列成了空了,也沒有找到v9,那就不存在了,這就是關(guān)于段數(shù)最短的一端路徑,可按照這種方式來實(shí)現(xiàn),看來這就是一個(gè)簡(jiǎn)單的思路我們現(xiàn)在知道到8了,你怎么知道是跳了兩次呢,那跳了兩次,哪一塊路徑 是兩次啊,你看這是一條路徑,還有別的嗎,別的還有沒有,這是不是兩次,這是不是兩次,你還要記住這條路徑是哪條路徑,比如我換成3次,那還要知道具體走的是哪一個(gè)頂點(diǎn),根據(jù)算法的進(jìn)一步的細(xì)節(jié)了,對(duì)于我們來說呢,我們要知道,我們要記住這樣一個(gè)結(jié)論,什么結(jié)論,求最短路徑,段數(shù)最少,跟權(quán)值無關(guān),用什么來實(shí)現(xiàn)用廣度優(yōu)先搜索來實(shí)現(xiàn),廣度優(yōu)先搜索是怎么回事,跟我們之前的廣度優(yōu)先遍歷很相似,需要借助隊(duì)列來實(shí)現(xiàn),先找與起點(diǎn)直接到達(dá)的頂點(diǎn),看直接打到的頂點(diǎn)是不是我們的目的地,如果不是的話,再找他的下一個(gè)換乘點(diǎn),就可以了,就一步一步推,就好比一步一步的擴(kuò)散唄,怎么擴(kuò)散啊,這是起點(diǎn),這里面有沒有,這是直接到的,沒有,再找換乘的,換乘一次的,再找換乘兩次的,換乘三次的,看換乘幾次,找最早能找到的8,最早找到的v8,肯定是我們換乘最少的,這是一個(gè),這個(gè)內(nèi)容我們就給大家說到這兒 那下面我們要看后面這個(gè)問題,這個(gè)問題就要稍微復(fù)雜一下了,但是也特別有意思,權(quán)值最小,我要的是時(shí)間最少和距離最短看著我要從v1出發(fā),我要借助這些權(quán)值,到v8,有一條路徑,各個(gè)路徑最后權(quán)值是最小的,那這個(gè)時(shí)候我該怎么辦,我直接走唄,直接過去,5+2+9,16,這是不是最小的,比如我先走2,在走3,或者我不說別的,v6到v8是不是9啊,但是我繞一下,先到7再到8,是不是1+6啊,比直接走這個(gè)9是要小啊,那這個(gè)路徑就可以排除了,關(guān)鍵是有眾多的路徑,大家想一下交通圖,那個(gè)路徑不計(jì)其數(shù)啊,我怎么從里面找到最合適的,這么來寫哦,這個(gè)人叫狄克斯特拉,人家專門研究這個(gè)問題,給出了一個(gè)解決方案,所以這個(gè)算法的名字,是以人家的名字來命名了,中間要經(jīng)過一系列的過程,過程就在這兒,他一直在重復(fù)一個(gè)操作,不復(fù)雜,首先要明白他的起點(diǎn)是什么,所有的頂點(diǎn)有8個(gè),起點(diǎn)是誰,v1,他的初始狀態(tài)是這么來的,我先定義一個(gè)數(shù)組,這個(gè)數(shù)組目前只有一個(gè)頂點(diǎn),我的起點(diǎn)v1,還有一個(gè)數(shù)組T數(shù)組,他有誰啊,他有其他所有的頂點(diǎn),然后呢我這里還維持著一張表,一個(gè)表格,當(dāng)前節(jié)點(diǎn)是除了起點(diǎn)之外,所有的頂點(diǎn),因?yàn)槲疫@里沒有任何的計(jì)算,我目前暫且認(rèn)為起點(diǎn)到這些頂點(diǎn)最短距離都是-1,-1就認(rèn)為無窮大,注意了,因?yàn)槲疫€沒有計(jì)算,所以我暫且認(rèn)為v1到這些頂點(diǎn)的最少路徑,目前都是無窮大,我們用-1來表示,這是初始狀態(tài),我們經(jīng)過一系列的運(yùn)算之后,最終得到了一個(gè)結(jié)果,這個(gè)最終的結(jié)果是什么,結(jié)果就是T數(shù)組里面的元素,一個(gè)也沒有了,都到S數(shù)組里面了,S數(shù)組里面原始只有一個(gè)v1,但是我們經(jīng)過各個(gè)步驟之后,已經(jīng)把T數(shù)組里面的值,依次的已經(jīng)放到我們的S數(shù)組里面了,已經(jīng)全了,但是你仔細(xì)看,他放的順序不是隨便放的,是按照234的順序來嗎,不是吧,6,7,5,8,他是有一點(diǎn)依據(jù)的,一個(gè)一個(gè)放進(jìn)去的,當(dāng)我們把T數(shù)組的元素都放到S數(shù)組里面的時(shí)候我們同時(shí)也得到了一張表,這個(gè)表就在這兒,我們又得出一個(gè)結(jié)論,從這個(gè)起點(diǎn)到v8,他的最短距離是多少啊,是12,最短距離是12,我們不僅得到了v1到v8的最短距離是12,我們還得到了v1到其他各個(gè)頂點(diǎn)的距離,比如v1到v2,...v8的最短距離分別是3,4,5,8,6,7,12,這個(gè)表是不是非常有用啊,是v1到各個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短距離,我的成果有第一個(gè),知道v1出發(fā),到網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短距離,這個(gè)成果是很豐碩的,并且我還知道,我從v1出發(fā),到v8這個(gè)路徑是12,那走的是那一條路徑,就在這個(gè)表格里面存著呢,怎么存著呢,v8的前一個(gè)節(jié)點(diǎn)是誰,是v7,v6的前一個(gè)節(jié)點(diǎn)是v6,v6的前一個(gè)節(jié)點(diǎn)是v3,v3的前一個(gè)節(jié)點(diǎn)是v2,v2的前一個(gè)節(jié)點(diǎn)是v1,大家記住了,回到這里來,看對(duì)不對(duì),這就是我們所說的最短路徑,那我要想找v1到v5的最短距離呢,也在這個(gè)表里面,這個(gè)表里面都有,比如我想到v5的最短距離,v1到v5的最短距離是8,從v5前一個(gè)是v6,v6的前一個(gè)是v3,v3的前一個(gè)是v2,v2的前一個(gè)是v1,大家記住這么一個(gè)順序了,我們到的是v5,12365,看是不是,我們講到這想一下,就是一個(gè)表格包含的內(nèi)容太多了不僅有最短距離,而且包括最短的路徑,下面我們就一步一步的來實(shí)現(xiàn) 我們來研究一下這個(gè)算法,我們要記住這個(gè)人的名字,使用狄克斯特拉,當(dāng)然是英文單詞翻譯過來的,我們把這個(gè)問題說明白,這里又一個(gè)專門的表格,就是剛才的內(nèi)容,打起精神來,雖然是了解性的,但是你不覺得很有意思嗎,看這一塊啊,我們開始回答這個(gè)問題了,初始狀態(tài)是S數(shù)組,里面只有起點(diǎn),T數(shù)組有其他所有的頂點(diǎn),v1到其他頂點(diǎn)的距離,暫且認(rèn)為無窮大,下一步,我要找與v1直接相連的頂點(diǎn),先找與v1直接相連的頂點(diǎn),里面有誰,v2,v3,v4,距離是幾,3,5,6,v1是不是可以達(dá)到這三個(gè)頂點(diǎn),3,5,6,v1到這三個(gè)頂點(diǎn)還是無窮大嗎,不是的,更新這個(gè)表,怎么更新了,到v3,到v4的距離是3,5,6,前一個(gè)頂點(diǎn)是誰,是從v1到達(dá)的這兒,這是我們的一個(gè)成果 下一步怎么辦,我們要從這個(gè)距離里面找到一個(gè)最小的值,哪個(gè)值最小啊,你可不能說不一樣,-1是無窮大的,是不是3最小3最小怎么辦,3代表誰啊,3代表v2,從下面這個(gè)數(shù)組里面把值最小的v2拿出來,放到這兒,這個(gè)圖是哪個(gè)圖啊,那下面我們要干什么了,下面我們要從v2出發(fā),看他可以到哪些頂點(diǎn),v2可以直接到v3,可以直接到v5,可以直接到v6,距離分別是多少,到v3是1,到v5是7,到v6是4,那大家想一想,這個(gè)v1到v2距離是不是3,那請(qǐng)問,我們這個(gè)v1到v3,v5,v6的距離,應(yīng)該是多少啊,我從v2到這三個(gè)的距離,是不是1,7,4,如果不是從v2出發(fā),從v1出發(fā),你這個(gè)距離是不是要加上一個(gè)3,再加上3,因?yàn)?是我們所有路徑最短的嗎,從v1到v2的距離,3和1,7,4分別相加,這是4,這是10,這是7,我們就可以再改變一下了,本來v1到v5到v6都是無窮大,現(xiàn)在變成多少了,現(xiàn)在變成10和7了,就是v1到v5到v6的距離,一個(gè)是10,一個(gè)是7,是不是要比無窮大小啊,改一下,怎么改,這兒改成10,這兒改成7,上一個(gè)頂點(diǎn)是誰,v2,那是這么來的,明確一點(diǎn),上個(gè)節(jié)點(diǎn)是v2,4要不要改啊這個(gè)4要不要改,你看哦,4是什么意思,也就是我們從v1到v3,直接走這個(gè)路徑是5,現(xiàn)在我又算了一下,我要走這個(gè)路徑居然是4,那怎么辦,是不是要把這個(gè)路徑替換一下,替換一下,把這兒改成4,還要改一個(gè)位置,我們到達(dá)v3的前一個(gè)頂點(diǎn)可是通過v2定的,還是通過v1嗎,不是的,我們這一步就做到這兒,在這個(gè)成果里面我們還要找一個(gè)最小的,之前的v2'早已經(jīng)加進(jìn)來了,就是在v3和v8里面找最小的,現(xiàn)在是v3,那我們要做一件事,提出來怎么辦,在這個(gè)圖里面找,從v3出發(fā),可以直接到誰,可以直接到v4,從v3到v4的距離是1,還有誰到誰,到v6,這是2,可是你不要忘了,我們要從v1出發(fā),最終到達(dá)v3,是不是花的距離是4,花的權(quán)值是不是4,那我要拿這個(gè)4,跟這個(gè)1相加,是幾啊,是5,拿著這個(gè)和2相加是6,這什么意思啊,6是比這個(gè)7小啊,5是不是比這個(gè)6小啊,這說明什么,我們找到了一個(gè)更短的路徑,當(dāng)然我們的最短路徑是借助誰實(shí)現(xiàn)的,是借助這個(gè)v3來實(shí)現(xiàn)的,不再是通過v1,不再是通過v2了,我們要做一個(gè)操作,把這個(gè)值改成5,把這個(gè)值改成6,還要再做一點(diǎn),再改什么位置,到達(dá)v4和v6的前一個(gè)頂點(diǎn)是通過誰啊,是通過v3嗎,把v1和v2改了,直接改成v3,改他就可以了,告訴我,下面就是完全重復(fù)了,我們又得到這個(gè)結(jié)果,告訴我們?cè)摳墒裁?下邊我們要干什么,這個(gè)v2,v3已經(jīng)進(jìn)到上面這個(gè)數(shù)組里面了,剩的是不是45678,找一個(gè)權(quán)值最小的,是5,權(quán)重是5,節(jié)點(diǎn)是v4,把這個(gè)v4放進(jìn)來,放進(jìn)來之后要干什么,以v4為頂點(diǎn),他直接相鄰的頂點(diǎn)有誰,有v6,v7,分別是幾,3和5,一個(gè)3一個(gè)5,v1到v4的最短距離是幾,是5,3加5是幾啊,8,5+5是幾啊,10,下邊我們要干什么,8和6比8要大,你這個(gè)不是最短路徑,但是這個(gè)10呢,到7的話,之前還是無窮遠(yuǎn)啊,現(xiàn)在是10,這要變一下,怎么改,這個(gè)6是不變的,這個(gè)-1要變成10還要變一下,怎么達(dá)到這個(gè)v7的,他的前一個(gè)頂點(diǎn)是v4,我們又得到了這么一個(gè)結(jié)果 再往下看,我們要在5678里面找到一個(gè)節(jié)點(diǎn),找到一個(gè)值最小,是不是6啊,那我們就要做一件事了,把這個(gè)v6加到里面我們就把它講完吧,怎么辦,以v6為頂點(diǎn),他可以直接到誰,直接到v5,直接到v7,直接到v8的,并且到v5是2,到v7是1,到v8是9,然后干什么呢,v6進(jìn)去了,v1到v6的最短距離是6,他是6的,6+2是幾啊,8,6+1是7,6+9是15,拿著這個(gè)8和10相比,我們又找到了一個(gè)最短路徑,把這兒改成8,前一個(gè)點(diǎn)是v6,拿著7和10比,這要改成7,前一個(gè)頂點(diǎn)是通過v6來找的,拿著15和無窮大比,這兒要改成15,我們又得到了一個(gè)結(jié)果,一步一步來的,這個(gè)時(shí)候T數(shù)組里面還剩幾個(gè),還剩3個(gè),一個(gè)v5,是8,一個(gè)v7是7,一個(gè)v8是15,8,7,15里面最小的是7,我們把7放進(jìn)來,又出現(xiàn)了什么情況,7可以到誰,7只能到8,權(quán)值是5,而我們要知道,從v1到v7,最短路徑現(xiàn)在是7,7+5是幾,12,拿著12和15相比較,12小于15,又找到一條最短路徑,前一個(gè)節(jié)點(diǎn)是誰,是v7l,又解決了,然后怎么辦,然后我們?cè)趘7,v8里面,找一個(gè)小的值一個(gè)是8,一個(gè)是12,把v5提上去,再來看,v5可以到v8,只是權(quán)值是6,而我們要知道他到v5的距離是8,8+6是幾,是14,14和12比,12還是最短的,不走你這個(gè)路徑,再往下走,不用走了,因?yàn)檫@里面就剩下一個(gè)節(jié)點(diǎn)就剩下一個(gè)v8了,v8就是我們的目的地,直接把v8加進(jìn)來,最終我們就得到這樣一個(gè)結(jié)果,這個(gè)結(jié)果告訴你什么,從v1出發(fā)到v8的最短距離是12,這是第一個(gè)成果,其實(shí)這個(gè)值就是起點(diǎn)為1,到這些頂點(diǎn)的最小距離,都求出來了如果你要是換一個(gè)頂點(diǎn),從v2出發(fā),你可以求出v2到其他頂點(diǎn)的最短距離,也是可以求獲的,并且我們這里還可以干什么,還可以知道怎么從v1出發(fā),怎么到達(dá)v8的,就是前面這一列起作用了,v8的前一個(gè)是v7,v7的前一個(gè)是v6,v6的前一個(gè)是v3,v3的前一個(gè)是v2,v2的前一個(gè)是起點(diǎn)v1,那關(guān)于最短路徑就給大家說道這里了 再次總結(jié),最短路徑在實(shí)際的應(yīng)用中還是特別有用的,段數(shù)最少的與權(quán)值無關(guān),直接用廣度優(yōu)先搜索就可以了,需要借助隊(duì)列,權(quán)值最小的,這里權(quán)值代表什么含義,不確定,可能是時(shí)間,也可能是距離,也可能是擁堵,都有可能,狄克斯特拉算法,最終我們會(huì)得到這樣的一個(gè)結(jié)果

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图的最短路径（一级）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。