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【問題描述】

給定n個矩陣｛A1,A2,…,An｝，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數最少。例如，給定三個連乘矩陣{A1，A2，A3}的維數分別是10100，1005和550，采用（A1A2）A3，乘法次數為101005+10550=7500次，而采用A1（A2A3），乘法次數為100550+10100*50=75000次乘法，顯然，最好的次序是（A1A2)A3，乘法次數為7500次。

分析：

矩陣鏈乘法問題描述：
給定由n個矩陣構成的序列｛A1，A2，…，An}，對乘積A1A2…An，找到最小化乘法次數的加括號方法。

1）尋找最優子結構

此問題最難的地方在于找到最優子結構。對乘積A1A2…An的任意加括號方法都會將序列在某個地方分成兩部分，也就是最后一次乘法計算的地方，我們將這個位置記為k，也就是說首先計算A1...Ak和Ak+1...An，然后再將這兩部分的結果相乘。
最優子結構如下：假設A1A2…An的一個最優加括號把乘積在Ak和Ak+1間分開，則前綴子鏈A1…Ak的加括號方式必定為A1…An的一個最優加括號，后綴子鏈同理。

開始并不知道k的確切位置，需要遍歷所有位置以保證找到合適的k來分割乘積。

2）構造遞歸解

• m[i][j] 表示A[i:j]的計算量 ；
• A[i:k]的計算量為m[i][k];
• A[k+1 : j]的計算量為m[k+1][j]

因此，m[i][j] = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1] * p[i] * p[j];

因為i、j是矩陣的下標所以是大于0的,比如矩陣是A1-A6 i=1,j=6
其中p是每個矩陣的行數和列數如下圖

（p[i-1] * p[i] * p[j]：最后兩個矩陣的計算量）
此時i=1，j=6
假設 此時k的位置（括號的位置）在p3,所以計算量就是min（m[1][3]+m[4][6]+p[0]p[3]p[6]）

計算順序

矩陣A1-A6,可以看出k的范圍在p1-p5間
i=1，j=6，n=6，所以k的范圍i<=k<j-1

#include<iostream> using namespace std;const int N=7; //p為矩陣鏈，p[0],p[1]代表第一個矩陣的行數和列數，p[1],p[2]代表第二個矩陣的行數和列數......length為p的長度 //所以如果有六個矩陣，length=7，m為存儲最優結果的二維矩陣，s為存儲選擇最優結果路線的 //二維矩陣 void MatrixChainOrder(int *p,int m[N][N],int s[N][N],int length) {int n=length-1;int l,i,j,k,q=0;//m[i][i]只有一個矩陣，所以相乘次數為0，即m[i][i]=0;for(i=1;i<length;i++){m[i][i]=0;}//l表示矩陣鏈的長度// l=2時，計算 m[i,i+1],i=1,2,...,n-1 (長度l=2的鏈的最小代價)// 就算m[i,i+l-1]代價（比如長度4，是A2-A5 所以j=i+l-1） 所以i+（l-1）<=nfor(l=2;l<=n;l++){for(i=1;i<=n-l+1;i++){j=i+l-1; //以i為起始位置，j為長度為l的鏈的末位，m[i][j]=0x7fffffff;//16進制的max，初始化，如果這個值沒有被覆蓋掉說明肯定最終結果就沒有走它//k從i到j-1,以k為位置劃分,在本題k的范圍是p1-p5for(k=i;k<=j-1;k++){q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];if(q<m[i][j])//如果比這個值小，則覆蓋{m[i][j]=q;s[i][j]=k;//保存k的位置}}}}cout << m[1][N-1] << endl;//最優的結果放在最后一個數組中 } void PrintAnswer(int s[N][N],int i,int j) {if(i==j){cout<<"A"<<i;}else{cout<<"(";PrintAnswer(s,i,s[i][j]);//矩陣A1-Ak PrintAnswer(s,s[i][j]+1,j);//矩陣Ak+1-Aj cout<<")";} } int main() {int p[N]={30,35,15,5,10,20,25};int m[N][N],s[N][N];MatrixChainOrder(p,m,s,N);PrintAnswer(s,1,N-1);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵连乘思路的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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