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題目大意：給出 a 和 b ，求解滿足條件的 c,d,e,f ，使得：

d < b

f < b

c,e 均為小于等于 4e12 的正整數

題目分析：分情況討論一下，首先如果 a 和 b 可以約分的話，那么直接約分后，輸出 a+1 , b , 1 , b 顯然就是答案了，如果不能約分的話，且 b 的相異質因子的個數不超過 1 個的話，那么是無解的，證明如下：（來自官方題解）

最后一種情況就是 b 的相異質因子個數超過一個，對于這種情況可以將條件 1 的公式轉換一下：?

這樣一來，d 和 f 顯然就是 b 的兩個相異質因子了，而 cf - de = a ，在已知 d 和 f 的前提下，一定有解，且可以用擴展歐幾里得來解決，注意最后求出來的答案需要處理一下，因為需要保證 c 和 e 為正整數

在找 d 和 f 的時候也有技巧，如果 sqrt( n ) 暴力去找的話，會超時，所以可以用埃氏篩預處理一下，保存一下每個數字的最大質因子，這樣就可以令 d 為該質因子的冪，然后 f = b / d 了

代碼：
?

#include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=2e6+100;int pri[N];//pri[i]:i的最大質因子為pri[i]template<class T> void exgcd(T a,T b,T &d,T &x,T &y){if(!b) {d=a;x=1;y=0;}else {exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);} } //求解二元一次方程 a*x+b*y=c,一組解為x,y,無解則返回false template<class T> bool Solve_equation(T a,T b,T c,T &x,T& y){T gcd;exgcd(a,b,gcd,x,y);if(c%gcd) return false; //無解T k=c/gcd;x*=k;y*=k;T xplus=b/gcd,yplus=a/gcd; if(xplus<0) xplus*=-1;if(yplus<0) yplus*=-1;//此時求出的x,y即為一組解，該方程的通解形式為X=x+t*(b/gcd),Y=y-t*(a/gcd) t為任意正整數//根據題目要求我們需要構造特殊解//x=(x%xplus+xplus)%xplus;y=c-a*x; //x的最小正整數解//y=(y%yplus+yplus)%yplus;x=c-b*y; //y的最小正整數解return true; }void init() {pri[1]=1;for(int i=2;i<N;i++)if(!pri[i])//當前的數為質數for(int j=i;j<N;j+=i)pri[j]=i; }int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);init();int w;cin>>w;while(w--){LL a,b;scanf("%lld%lld",&a,&b);LL gcd=__gcd(a,b);a/=gcd,b/=gcd;if(gcd!=1){printf("%lld %lld %lld %lld\n",a+1,b,1,b);continue;}LL d=1,f=b;while(pri[b]!=1&&f%pri[b]==0){f/=pri[b];d*=pri[b];}if(f==1)//只有一個質因子 {printf("-1 -1 -1 -1\n");continue;}LL c,e;Solve_equation(f,-d,a,c,e);LL k=abs(min(c/d,e/f))+1;c+=d*k,e+=f*k;printf("%lld %lld %lld %lld\n",c,d,e,f);}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的牛客多校3 - Fraction Construction Problem(扩展欧几里得)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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