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題目大意：給出一個n*m的數碼問題，問是否能到達最終狀態

題目分析：對于數碼問題，我們先一步一步分析，先簡單看一下定義：

八數碼的問題描述為：
在3×3的棋盤上，擺有八個棋子，每個棋子上標有1至8的某一數字。棋盤中留有一個空格，空格用0來表示。空格周圍的棋子可以移到空格中。要求解的問題是：給出一種初始布局（初始狀態）和目標布局，找到一種最少步驟的移動方法，實現從初始布局到目標布局的轉變。

八數碼問題算是經典bfs問題了，因為是bfs，所以自然可以求出最小步數以及路徑輸出，之前我也寫過博客介紹了，這里就不過多展開討論了，我們現在討論的問題沒有那么復雜，只是單純的討論某個狀態能否通過規則操作到達最終狀態，也就是判斷當前狀態是否有解

首先我們先上升為n*n數碼問題，n為奇數：

關于證明我也不太會證明，簡單說一下結論吧，就是我們將整個n*n-1個數(不包含空格)依次寫成一行的一個序列后，逆序對個數的奇偶性相同，必要性的證明：空格左右移動時，轉換成的序列顯然不變，上下移動時，相當于某個數與它前面或后面的n-1個數交換了位置，因為n是奇數，所以n-1是偶數，所以逆序對的變化也只能是偶數，而最后目標的狀態逆序對的數目為0，所以當前狀態的逆序對的數目必須為偶數才能達到目標狀態，換句話說，若判斷兩個狀態能否到達的條件就是其逆序對數的奇偶性是否一致

現在我們將問題再上升為n*n，n為偶數的情況：

原理同上，只不過空格在上下移動的時候，會和n-1個數交換了位置，因為此時的n為偶數，所以n-1為奇數，所以此時逆序對的變化只能為奇數，而奇數+奇數等于偶數，奇數+偶數等于奇數，所以當n為奇數的時候，此時判斷狀態之間的關系還需要看空格上下交換了幾次位置，換句話說，若判斷兩個狀態能否到達的條件是“逆序對之差”和“兩個局面下空格所在的行數之差”的奇偶性是否一致

最后我們將問題上升為n*m，n和m為任意正整數：

通過上面的分析，我們會發現其實答案只與列數有直接的關系，所以我們已經不用管n了，只需要根據m來討論就好了：

若m為奇數，則m-1為偶數，判斷可達性即判斷逆序對數的奇偶性即可

若m為偶數，則m-1為奇數，判斷可達性即判斷逆序對數以及空格所差的行數記得奇偶性即可

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結論說完之后，那么對于這個題目，我們只需要先求一下逆序對數，然后根據m來分情況討論一下就好了，注意一下這個題目卡了時間，只能用歸并排序求逆序數，而不能用樹狀數組或線段樹來求?

代碼：

#include<iostream> #include<cstdlib> #include<string> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<climits> #include<cmath> #include<cctype> #include<stack> #include<queue> #include<list> #include<vector> #include<set> #include<map> #include<sstream> using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e6+100;int a[N],b[N];int merge_sort(int l,int r)//歸并排序 {if(l==r)return 0;int mid=l+r>>1;int ans=merge_sort(l,mid)+merge_sort(mid+1,r);int p=l,q=mid+1;for(int i=l;i<=r;i++){if(q>r||p<=mid&&a[p]<=a[q])b[i]=a[p++];else{b[i]=a[q++];ans+=mid-p+1;}}for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=b[i];return ans; }int main() { // freopen("input.txt","r",stdin); // ios::sync_with_stdio(false);int n,m;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&n+m){int cnt=0,zero;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){int num;scanf("%d",&num);if(num)a[++cnt]=num;elsezero=n-i;}int ans=merge_sort(1,cnt);if(m&1)//若m為奇數zero=0; if((ans+zero)&1)//ans和zero奇偶性不同 printf("NO\n");elseprintf("YES\n");}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的POJ - 2893 M × N Puzzle(n*m数码问题+逆序对结论)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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