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題目大意：給出n個節點的key和val，構造出其笛卡爾樹的原型

笛卡爾樹的定義：

所謂笛卡爾樹，就是將給定的n個二元組(key,val)建成一棵樹。使得：

如果只關注key，那么這是一棵二叉搜索樹

如果只關注val，那么這是一個堆

對于任意三個節點fa，ls，rs，滿足：

key[ls]<key[fa]<key[rs]

val[fa]>=max(val[ls],val[rs])

題目分析：首先我們需要先知道怎么建立笛卡爾樹，我們可以按照key進行排序，經過排序之后，在最右邊的樹鏈上操作，對于每一個節點的val尋找一下該節點需要插入的位置，需要滿足的條件是當前節點插入后的val值滿足條件比其上面的節點要大，比起下面的節點要小，找到合適的位置后，將原本的鏈斷開，將x插入，并將原本x之下的那條鏈連接到x的左子樹上，這樣我們就成功插入一個節點x了

先說一下為什么要這樣插點，因為我們需要滿足二叉搜索樹的條件并且已經提前按照key值非降排好序了，所以在插入節點x之前，樹中的所有key值都比節點x的key值要小，若我們只關注key的話，那么直接把點x插入到主根root節點向右遍歷最下面的那個節點的右兒子即可，也就是最右端樹鏈的末端，因為同時需要滿足對于val值建立小頂堆的條件，所以我們需要在最右端的樹鏈上尋找一個合適的位置插入節點x，當找到合適的位置后，這個位置肯定是滿足了對于val值建堆的條件了，但卻不滿足對于key建二叉搜索樹的條件了，所以我們需要稍微操作一下，因為當前x的key值在整棵樹中是最大的，所以對于其父節點以及其祖先節點，肯定在右鏈的末端是合適的位置，但對于節點x下面的樹鏈，也就是原本這個位置右鏈的下半部分來說，我們需要將這下半部分轉移到當前節點x的左鏈上，這樣就可以同時滿足上述兩個條件了

可能看起來比較難理解，可以自己動手畫一下上面的這個過程，我也是稍微畫了畫圖之后就豁然開朗了

現在說一下實現方法，對于key排序沒什么好說的，現在就是對于每個點x需要找到點x插入的位置，這個位置肯定是從右鏈最下面開始，找到小于等于點x的第一個節點作為點x的父節點，我們該怎么快速找到這個父節點呢

網上的正解都是清一色的用單調棧來維護，確實，因為我們只需要在右鏈上尋找合適的位置，而且整棵樹對于val滿足堆的性質，所以從根部沿著右鏈到達葉子結點，這一整條樹鏈實際上就是一個非嚴格遞減的序列，這樣一來我們就可以直接用單調棧來維護了，每次維護完之后棧頂就是我們需要尋找的節點編號了，注意，單調棧里維護的為每個節點的下標，也就是id，通過這個id就可以直接訪問其內部成員了，用單調棧的話因為每個成員至多訪問一次，所以時間復雜度也就是O(n)建樹了

不過zx學長想出了另一個方法，也就是根據建樹的整個過程得到啟發的，因為每次我們找到一個放置點x的位置后，整個樹鏈的下半部分都會拐個彎，拐到節點x的左節點去了，所以此時最右邊的樹鏈相當于將原本下半部分的節點刪除掉了，然后此時的點x一定是最右端樹鏈的最末端的節點，此時我們每次可以沿著最末端的節點往上跳，跳完之后直接將下半部分的樹鏈拐彎，這樣理論上每個節點至多也是遍歷一次，時間復雜度是O(n)

其實兩種方法大同小異，都離不開笛卡爾樹的兩個關鍵性質，理解了如何根據其性質建樹之后就想怎么建就怎么建了。。

代碼：

單調棧：

#include<iostream> #include<cstdlib> #include<string> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<climits> #include<cmath> #include<cctype> #include<stack> #include<queue> #include<list> #include<vector> #include<set> #include<map> #include<sstream> using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=5e4+100;struct Node {int l,r,fa,val,key,id;bool operator<(const Node& a)const{return key<a.key;} }tree[N],ans[N];stack<int>s;//維護id，維護val的小頂棧 void insert(int x) {while(s.size()&&tree[s.top()].val>tree[x].val)//單調棧維護非嚴格遞增序列s.pop();tree[x].l=tree[s.top()].r;//更新 節點x 的左兒子tree[tree[s.top()].r].fa=x;//更新 節點x 的左兒子 的父節點tree[x].fa=s.top();//更新 節點x 的父節點tree[s.top()].r=x;//更新 節點x 的父節點 的右兒子s.push(x); }void init() {tree[0].val=-inf;tree[0].l=tree[0].r=0;s.push(0); }int main() { // freopen("input.txt","r",stdin); // ios::sync_with_stdio(false);int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){init();for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&tree[i].key,&tree[i].val);tree[i].id=i;}sort(tree+1,tree+1+n);for(int i=1;i<=n;i++)insert(i);for(int i=1;i<=n;i++){ans[tree[i].id].fa=tree[tree[i].fa].id;ans[tree[i].id].l=tree[tree[i].l].id;ans[tree[i].id].r=tree[tree[i].r].id;}printf("YES\n");for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d %d %d\n",ans[i].fa,ans[i].l,ans[i].r);}return 0; }

暴跳父親：

#include<iostream> #include<cstdlib> #include<string> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<climits> #include<cmath> #include<cctype> #include<stack> #include<queue> #include<list> #include<vector> #include<set> #include<map> #include<sstream> using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=5e4+100;struct Node {int l,r,fa,val,key,id;bool operator<(const Node& a)const{return key<a.key;} }tree[N],ans[N];void insert(int pos) {int cur=pos-1;while(tree[cur].val>tree[pos].val)//用while暴跳父親，直到父親節點的val小于等于當前節點的valcur=tree[cur].fa;tree[tree[cur].r].fa=pos;//更新 節點x 的左兒子 的父節點tree[pos].l=tree[cur].r;//更新 節點x 的左兒子tree[cur].r=pos;//更新 節點x 的父節點 的右兒子tree[pos].fa=cur;//更新節點x 的父節點 }void dfs(int x) {if(!x)return;ans[tree[x].id].fa=tree[tree[x].fa].id;ans[tree[x].id].l=tree[tree[x].l].id;ans[tree[x].id].r=tree[tree[x].r].id;dfs(tree[x].l);dfs(tree[x].r); }void init() {tree[0].val=-inf;tree[0].l=tree[0].r=0; }int main() { // freopen("input.txt","r",stdin); // ios::sync_with_stdio(false);int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){init();for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&tree[i].key,&tree[i].val);tree[i].id=i;}sort(tree+1,tree+1+n);for(int i=1;i<=n;i++)insert(i);dfs(tree[0].r);printf("YES\n");for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d %d %d\n",ans[i].fa,ans[i].l,ans[i].r);}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的POJ - 2201 Cartesian Tree(笛卡尔树-单调栈/暴跳父亲)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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