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題目大意：給出一個小于1的分數形式p/q來表示一個的有理數，我們需要求出以二進制展開的循環小數中，開始循環的第一個點和循環周期是多少

題目分析：我們首先要知道分數如何轉換成k進制的小數，這里給出一段模擬除法的小函數可以實現這個功能：

for(int i=0;i<需要轉換的位數;i++){p*=k;b[i]=p/q;p%=q; }

我們將k=2代入，就能求出小數點后的小數了，現在我們設最短周期開始的位置為x，最短周期的長度為y，則我們可以得到同余方程：成立，則，由于q和p互質，所以肯定不能整除，上面式子化簡為又因為是奇數，所以q中2的個數決定了x的值，而q=q DIV?，最終得同余方程為，最終我們用歐拉定理求解y即可

這里補充一下關于x的解釋，上面的題解讀起來可能有些抽象，我們可以這樣想，來模擬一下那個除法我們就能看出來，初始時這個分數為p/q，若q中含有2作為因子，那么當p乘二后，會先和q中的2抵消，等將q中的2抵消完畢后，才會開始周期的循環，所以我們計算一下q中有多少個2作為因子就能輕松求出x了

再說一下怎么用歐拉定理來求y，我們先要知道歐拉定理是：

若n,a為正整數，且n,a互素，即gcd(a,n) = 1，則

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

是不是和上面求y的公式對應起來了？我們可以直接先用歐拉函數計算出φ(q)，就能計算出y的值了

不過很可惜，直接算出來的y并不是最優解，所以我們需要枚舉尋找最小解，我們只需要用試除法的思想，消去y中的因子，就能夠嘗試出比y小且滿足條件的答案了

代碼：

#include<iostream> #include<cstdlib> #include<string> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<climits> #include<cmath> #include<cctype> #include<stack> #include<queue> #include<list> #include<vector> #include<set> #include<map> #include<sstream> using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e4+100;LL mult_mod(LL a,LL b,LL c) {a%=c;b%=c;LL ans=0;while(b){if(b&1){ans+=a;ans%=c;}a<<=1;if(a>=c)a%=c;b>>=1;}return ans; }LL pow_mod(LL x,LL n,LL mod) {if(n==1)return x%mod;x%=mod;LL temp=x;LL ans=1;while(n){if(n&1) ans=mult_mod(ans,temp,mod);temp=mult_mod(temp,temp,mod);n>>=1;}return ans; }LL Euler(LL n)//歐拉函數 {LL ans=n;for(LL i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){ans=ans/i*(i-1);while(n%i==0)n/=i;}}if(n>1)ans=ans/n*(n-1);return ans; }int main() { // freopen("input.txt","r",stdin);LL p,q;int kase=0;while(scanf("%lld/%lld",&p,&q)!=EOF){LL gcd=__gcd(p,q);p/=gcd;//先將p和q都化簡一下q/=gcd;LL x=1;while(q%2==0)//找一下q中有多少個因子2{x++;q>>=1;}LL m=Euler(q);//初始化y為q的歐拉函數，用變量m輔助尋找y的因子LL y=m;for(int i=2;i*i<=m;i++){if(m%i==0)//若i為y的因子之一，則嘗試除去{while(m%i==0)//防止重復判斷，將此因子除去m/=i;while(y%i==0){y/=i;//先除去if(pow_mod(2,y,q)!=1)//若除去后的y不滿足條件{y*=i;//回溯break;}}}}printf("Case #%d: %lld,%lld\n",++kase,x,y);}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的POJ - 3358 Period of an Infinite Binary Expansion(欧拉定理)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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