今天我們討論的問題是如何有效地求自然數的冪和。接下來以3個經典題目為例來講解。

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題目：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=1864

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分析：其實求自然數的冪和方法有很多種，先來看看普通的遞推求法，由于

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???? 那么對于所有的累加得到

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???? 進一步得到

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???? 可以看出這是一個遞推式，如果我們記

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?????那么得到如下遞歸式

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?????遞歸出口是

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?????為了提高效率，在遞歸的時候需要記憶化。由于要用到大數，用Java實現。

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代碼：

import java.math.*; import java.util.*;public class Main {public static final int N = 105;public static final BigInteger FLAG = (BigInteger.ZERO).subtract(BigInteger.ONE);public static BigInteger[][] C = new BigInteger[N][N];public static BigInteger[] ans = new BigInteger[N];public static void Init(){for(int i=0; i<N; i++){C[i][0] = C[i][i] = BigInteger.ONE;if(i == 0) continue;for(int j=1; j<i; j++)C[i][j] = C[i-1][j].add(C[i-1][j-1]);}}public static BigInteger Solve(BigInteger n, int k){if(ans[k].compareTo(FLAG) != 0){return ans[k];}if(k == 1){ans[k] = ((n.add(BigInteger.ONE)).multiply(n)).divide(BigInteger.valueOf(2));return ans[k];}BigInteger tmp = BigInteger.ONE;for(int i=0; i<k+1; i++){tmp = tmp.multiply(n.add(BigInteger.ONE));}tmp = tmp.subtract(n.add(BigInteger.ONE));BigInteger sum = BigInteger.ZERO;for(int i=1; i<k; i++){BigInteger t = C[k+1][i+1].multiply(Solve(n, k-i));sum = sum.add(t);}ans[k] = (tmp.subtract(sum)).divide(BigInteger.valueOf(k+1));return ans[k];}public static void main(String[] args){Init();Scanner cin = new Scanner(System.in);while(cin.hasNext()){BigInteger n = cin.nextBigInteger();int k = cin.nextInt();for(int i=0; i<N; i++){ans[i] = FLAG;}System.out.println(Solve(n, k));}} }

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題目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1228

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分析：本題題意就是求自然數的冪和，但是它的case比較多。對于求冪和本身就需要的時間復雜度，如果繼

???? 續用上述方法來求自然數的冪和，5000個case會TLE，接下來介紹另一個求自然數冪和的方法，它是基于伯

?????努利數的，公式描述如下

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?????可以看出只要我們預處理出每一項，就可以在線性時間內求得自然數的冪和。前面的倒數可以用遞推法求逆元

???? 預處理，組合數也可以預處理，也可以先預處理，現在關鍵是如何預處理伯努利數。

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?????伯努利數滿足條件，且有

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?????那么繼續得到

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?????這就是伯努利數的遞推式，逆元部分同樣可以預處理。

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代碼：

#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h>using namespace std; typedef long long LL; const LL MOD = 1000000007; const int N = 2005;LL C[N][N]; LL B[N],Inv[N]; LL Tmp[N]; LL n;void Init() {//預處理組合數for(int i=0; i<N; i++){C[i][0] = C[i][i] = 1;if(i == 0) continue;for(int j=1; j<i; j++)C[i][j] = (C[i-1][j] % MOD + C[i-1][j-1] % MOD) % MOD;}//預處理逆元Inv[1] = 1;for(int i=2; i<N; i++)Inv[i] = (MOD - MOD / i) * Inv[MOD % i] % MOD;//預處理伯努利數B[0] = 1;for(int i=1; i<N; i++){LL ans = 0;if(i == N - 1) break;for(int j=0; j<i; j++){ans += C[i+1][j] * B[j];ans %= MOD;}ans *= -Inv[i+1];ans = (ans % MOD + MOD) % MOD;B[i] = ans;} }LL Work(int k) {LL ans = Inv[k+1];LL sum = 0;for(int i=1; i<=k+1; i++){sum += C[k+1][i] * Tmp[i] % MOD * B[k+1-i] % MOD;sum %= MOD;}ans *= sum;ans %= MOD;return ans; }int main() {int T;Init();scanf("%d", &T);while(T--){int k;scanf("%I64d %d", &n, &k);n %= MOD;Tmp[0] = 1;for(int i=1; i<N; i++)Tmp[i] = Tmp[i-1] * (n + 1) % MOD;printf("%I64d\n", Work(k));}return 0; }

題目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1258

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分析：本題與上題不同的是值比較大，達到50000，如果采用同樣的方法，會TLE的。那么必定要進行優化。

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???? 參考Pick大神的方法，如下

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???? 鏈接：http://picks.logdown.com/posts/189620-the-inverse-element-of-polynomial

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的伯努利数与自然数幂和的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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