今天將來學習如何求廣義Fibonacci數列的循環節。

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問題：給定，滿足，求的循

?????環節長度。

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來源：http://acdreamoj.sinaapp.com/?1075題

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分析：我們知道矩陣的遞推關系如下

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?????然后繼續有

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????

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???? 那么，現在的問題就轉化為求最小的，使得

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?????

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???? 所以我們可以先找出符合條件的一個，然后枚舉它的因子，找最小的。設

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?????

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?????為了好解決問題，我們需要對矩陣進行相似對角化，即，我們先來求的特征值。

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????

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?????解得的特征值為

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????

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?????也就是說的相似對角矩陣為

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????

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? ? ? 因為我們知道，所以當時，，?由于

??

?????

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??????繼續得到

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???????

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??????設，那么分情況討論：

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?????? （1）是模的二次剩余，由費馬小定理得時，

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???????（2）是模的二次非剩余，則有

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???????????

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?????????? 根據歐拉準則有

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??????????

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?????????? 那么繼續得到

?

???????????

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???????????然后由費馬小定理有，同理有

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?????????? 所以，當時，

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?????? （3）時，由于不存在，所以無法完成相似對角化，好在這種情況不存在。

????

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??????所以綜上所述：

???

??????是模的二次剩余時，枚舉的因子

????? 是模的二次非剩余時，枚舉的因子

?

????? 找最小的因子，使得

?

?????

?

????? 成立。

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代碼：

#include <iostream> #include <string.h> #include <algorithm> #include <stdio.h> #include <math.h>using namespace std; typedef long long LL; const int N = 2; const LL MOD = 1000000007;LL fac[2][505]; int cnt,ct;LL pri[6] = {2, 3, 7, 109, 167, 500000003}; LL num[6] = {4, 2, 1, 2, 1, 1};struct Matrix {LL m[N][N]; } ;Matrix A; Matrix I = {1, 0, 0, 1};Matrix multi(Matrix a,Matrix b) {Matrix c;for(int i=0; i<N; i++){for(int j=0; j<N; j++){c.m[i][j] =0;for(int k=0; k<N; k++){c.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j];c.m[i][j] %= MOD;}}}return c; }Matrix power(Matrix A,LL n) {Matrix ans = I, p = A;while(n){if(n & 1){ans = multi(ans,p);n--;}n >>= 1;p = multi(p,p);}return ans; }LL quick_mod(LL a,LL b) {LL ans = 1;a %= MOD;while(b){if(b & 1){ans = ans * a % MOD;b--;}b >>= 1;a = a * a % MOD;}return ans; }LL Legendre(LL a,LL p) {LL t = quick_mod(a,(p-1)>>1);if(t == 1) return 1;return -1; }void dfs(int dept,LL product = 1) {if(dept == cnt){fac[1][ct++] = product;return;}for(int i=0; i<=num[dept]; i++){dfs(dept+1,product);product *= pri[dept];} }bool OK(Matrix A,LL n) {Matrix ans = power(A,n);return ans.m[0][0] == 1 && ans.m[0][1] == 0 &&ans.m[1][0] == 0 && ans.m[1][1] == 1; }int main() {fac[0][0] = 1;fac[0][1] = 2;fac[0][2] = 500000003;fac[0][3] = 1000000006;LL a,b,c,d;while(cin>>a>>b>>c>>d){LL t = a * a + 4 * b;A.m[0][0] = a;A.m[0][1] = b;A.m[1][0] = 1;A.m[1][1] = 0;if(Legendre(t,MOD) == 1){for(int i=0; i<4; i++){if(OK(A,fac[0][i])){cout<<fac[0][i]<<endl;break;}}}else{ct = 0;cnt = 6;dfs(0,1);sort(fac[1],fac[1]+ct);for(int i=0;i<ct;i++){if(OK(A,fac[1][i])){cout<<fac[1][i]<<endl;break;}}}}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的广义Fibonacci数列找循环节的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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