二次同余方程的解
今天要討論的問題是解方程，其中是奇質(zhì)數(shù)。
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引理：
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證明：由費(fèi)馬小定理，
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引理：方程有解當(dāng)且僅當(dāng)
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定理：設(shè)滿足不是模的二次剩余，即無解，那么是二次
?????剩余方程的解。
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證明：由，前面的等號用二項(xiàng)式定理和，后面的等
???? 號用了費(fèi)馬小定理和是模的二次非剩余。然后
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在算法實(shí)現(xiàn)的時候，對的選擇可以隨機(jī)，因?yàn)榇蠹s有一半數(shù)是模的二次非剩余，然后快速冪即可。
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題目：http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1132
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題意：求二次同余方程的解。
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代碼：
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include <iostream> #include <math.h>using namespace std; typedef long long LL;LL quick_mod(LL a, LL b, LL m) {LL ans = 1;a %= m;while(b){if(b & 1){ans = ans * a % m;b--;}b >>= 1;a = a * a % m;}return ans; }struct T {LL p, d; };LL w;//二次域乘法 T multi_er(T a, T b, LL m) {T ans;ans.p = (a.p * b.p % m + a.d * b.d % m * w % m) % m;ans.d = (a.p * b.d % m + a.d * b.p % m) % m;return ans; }//二次域上快速冪 T power(T a, LL b, LL m) {T ans;ans.p = 1;ans.d = 0;while(b){if(b & 1){ans = multi_er(ans, a, m);b--;}b >>= 1;a = multi_er(a, a, m);}return ans; }//求勒讓德符號 LL Legendre(LL a, LL p) {return quick_mod(a, (p-1)>>1, p); }LL mod(LL a, LL m) {a %= m;if(a < 0) a += m;return a; }LL Solve(LL n,LL p) {if(p == 2) return 1;if (Legendre(n, p) + 1 == p)return -1;LL a = -1, t;while(true){a = rand() % p;t = a * a - n;w = mod(t, p);if(Legendre(w, p) + 1 == p) break;}T tmp;tmp.p = a;tmp.d = 1;T ans = power(tmp, (p + 1)>>1, p);return ans.p; }int main() {int t;scanf("%d", &t);while(t--){int n, p;scanf("%d %d",&n,&p);n %= p;int a = Solve(n, p);if(a == -1){puts("No root");continue;}int b = p - a;if(a > b) swap(a, b);if(a == b)printf("%d\n",a);elseprintf("%d %d\n",a,b);}return 0; }
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接下來我們來解另一個二次同余方程的解，其中，并且是奇質(zhì)數(shù)。方法如下
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先求出方程的一個解，那么進(jìn)一步有
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我們知道
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那么也就是說
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可以證明和，那么最終得到
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這里由于不是素數(shù)，所以求逆元用擴(kuò)展歐幾里得算法即可。
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例如：求方程的解
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分析：利用上述方法求得，最終解得。
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總結(jié)
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