文章目錄

• 搜索結(jié)構(gòu)
• B樹
• • B樹的插入
  • B樹的遍歷
  • B樹的性能
• B+樹
• • B+樹的插入
  • B+樹的遍歷
• B*樹
• • B*樹的插入
• 總結(jié)

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搜索結(jié)構(gòu)

如果我們有大量的數(shù)據(jù)需要永久存儲，就需要存儲到硬盤之中，但是硬盤的訪問速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于內(nèi)存，并且由于數(shù)據(jù)量過大，無法一次性加載到內(nèi)存中。此時，就可以考慮將數(shù)據(jù)存儲在硬盤中，而數(shù)據(jù)的地址則加載到內(nèi)存中，通過某種搜索結(jié)構(gòu)進(jìn)行存儲，使用時只需要通過該結(jié)構(gòu)查找到地址，在通過地址去找到對應(yīng)的數(shù)據(jù)即可。

之前我博客中介紹了幾種搜索結(jié)構(gòu)：二叉搜索樹、AVL樹、紅黑樹、哈希、位圖、布隆過濾器。
考慮到查找性能以及內(nèi)存消耗，其中適合這種場景的只有平衡二叉搜索樹（AVL、紅黑樹）。

但即使平衡二叉搜索樹的搜索性能能達(dá)到logN，由于數(shù)據(jù)量過于龐大，例如存儲了10億個數(shù)，則可能最多需要查找30次。這個數(shù)字看起來不是很多，因為之前我們比較的是內(nèi)存的速度，即使是10億個數(shù)也能一瞬間查找完。但是對于硬盤來說，由于硬盤的速率低，每一次IO都意味這大量的損耗，所以這種方法也不太合適。

如果想要提高查找的效率，那么唯一的方法就是壓縮樹的高度，而壓縮的方法，就是將二叉樹變?yōu)镸叉樹，也就是使用到M路平衡搜索樹，B樹。

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B樹

B樹即一棵平衡的M路平衡搜索樹（M > 2），可以是空樹或者滿足以下性質(zhì)

• 根節(jié)點(diǎn)至少有兩個孩子
• 每個非根節(jié)點(diǎn)至少有M/2(上取整)個孩子,至多有M個孩子
• 每個非根節(jié)點(diǎn)至少有M/2-1(上取整)個關(guān)鍵字,至多有M-1個關(guān)鍵字，并且以升序排列
• key[i]和key[i+1]之間的孩子節(jié)點(diǎn)的值介于key[i]、key[i+1]之間
• 所有的葉子節(jié)點(diǎn)都在同一層

節(jié)點(diǎn)設(shè)計

template<class K, int M = 3> struct BTreeNode {K _keys[M]; // 存放元素BTreeNode<K, M>* _pSub[M+1]; // 存放孩子節(jié)點(diǎn)，注意：孩子比數(shù)據(jù)多一個BTreeNode<K, M>* _pParent; // 在分裂節(jié)點(diǎn)后可能需要繼續(xù)向上插入，為實現(xiàn)簡單增加parent域size_t _size; // 節(jié)點(diǎn)中有效元素的個數(shù)BTreeNode(): _pParent(NULL), _size(0){for(size_t i = 0; i <= M; ++i)_pSub[i] = NULL;} };

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B樹的插入

下面拿一個M=3的三叉B樹來舉例子。（ps:三叉樹即每個節(jié)點(diǎn)至多3個孩子，2個key，key的數(shù)量永遠(yuǎn)比孩子少一個）

假設(shè)使用以下數(shù)據(jù)構(gòu)建B樹{63, 131, 85, 39, 148, 31, 111}（B樹從葉子節(jié)點(diǎn)的位置進(jìn)行插入）

首先依次插入前三個節(jié)點(diǎn)，當(dāng)插入到第三個時，由于三叉樹的key只能有2個，所以此時會采取分裂的方法來維持樹的平衡。

B樹分裂的規(guī)則是：創(chuàng)建一個兄弟節(jié)點(diǎn)，拷貝右半?yún)^(qū)間的數(shù)據(jù)到兄弟節(jié)點(diǎn)，左半?yún)^(qū)間保留，中位數(shù)放到父親節(jié)點(diǎn)（如果沒有則創(chuàng)建新的根節(jié)點(diǎn)）。
B樹與AVL的旋轉(zhuǎn)，紅黑樹的旋轉(zhuǎn)+變色不一樣，它使用了分裂的方法來維持樹的平衡，這樣的好處是既能做到平衡，也保證了非根節(jié)點(diǎn)至少有一半的空間利用率

所以此時按照上面的規(guī)則進(jìn)行分裂

接著插入39， 148。

此時插入31，開始分裂

接著插入111，此時再次發(fā)生分裂

此時可以看到，葉子節(jié)點(diǎn)已經(jīng)分裂成了四個，并且根節(jié)點(diǎn)的key也達(dá)到了三個，所以此時規(guī)則不成立，按照分裂的規(guī)則繼續(xù)分裂

此時，樹重新平衡。所以從上面可以看出來，本質(zhì)上B樹的設(shè)計還是參考了二叉搜索樹。

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B樹的遍歷

B樹的有序遍歷還是通過中序遍歷來完成，不過需要通過隊列或者遞歸遍歷完這個節(jié)點(diǎn)的所有的key
如

void _InOrder(PNode pRoot) {if(NULL == pRoot)return;for(size_t i = 0; i < pRoot->_size; ++i){_InOrder(pRoot->_pSub[i]);cout<<pRoot->_keys[i]<<" ";}_InOrder(pRoot->_pSub[pRoot->_size]); }

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B樹的性能

作為一個M路平衡搜索樹，B樹的搜索性能達(dá)到了 $lo{g}_{M+1}N$~$lo{g}_{M/2}N$之間，查找到對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)后，通過節(jié)點(diǎn)存儲的地址來進(jìn)行二分查找，就可以確定數(shù)據(jù)的位置。比起二叉平衡搜索樹，速度快了一大截，并且大大的減少了硬盤IO的次數(shù)，所以在文件系統(tǒng)以及數(shù)據(jù)庫索引等方面使用的都是這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

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B+樹

B+樹是B樹的變形，主要性質(zhì)如下

• 其定義基本與B樹相同
• 非葉子節(jié)點(diǎn)的孩子與key個數(shù)相同（簡化規(guī)則）
• 非葉子節(jié)點(diǎn)由葉子節(jié)點(diǎn)的最小值構(gòu)成（充當(dāng)索引，所以不可能在非葉子節(jié)點(diǎn)命中）
• 所有數(shù)據(jù)都出現(xiàn)在葉子節(jié)點(diǎn)，并且所有葉子節(jié)點(diǎn)都鏈接起來，同時是有序的。（方便遍歷）

如下圖

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B+樹的插入

這里為了方便，使用三階B+樹舉例子，這里還是使用同樣的數(shù)據(jù)。{63, 131, 85, 39, 148, 31, 111}
首先插入63，并把63作為父節(jié)點(diǎn)的索引

接著插入131， 85
當(dāng)插入39時，發(fā)生分裂，分裂規(guī)則與之前略有區(qū)別。

B+樹的分裂規(guī)則發(fā)生了變化，因為此時父節(jié)點(diǎn)存儲的是索引，所以此時只會將左半部分?jǐn)?shù)據(jù)保留，右半部分?jǐn)?shù)據(jù)放入新建的兄弟節(jié)點(diǎn)，并且會向上更新父節(jié)點(diǎn)的索引。

接著插入148， 31

當(dāng)插入111時，發(fā)生分裂

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B+樹的遍歷

從上面可以看出來，B+樹的主要特點(diǎn)其實就是更方便進(jìn)行遍歷，因為其將所有數(shù)據(jù)存儲在葉子節(jié)點(diǎn)，并且將所有葉子節(jié)點(diǎn)連接起來，就可以像遍歷鏈表一樣遍歷B+樹。而所有非葉子節(jié)點(diǎn)就相當(dāng)于一個索引，這樣的結(jié)構(gòu)使得B+樹的查找相當(dāng)于對關(guān)鍵字全集做一次二分查找。

所以通常文件的索引系統(tǒng)都會采用B+樹的結(jié)構(gòu)。

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B*樹

B*樹則又是對B+樹的變形，其性質(zhì)如下

• 其定義基本與B+樹相同
• 將非葉子節(jié)點(diǎn)也連接起來
• 分裂方式再次修改，保證每個節(jié)點(diǎn)中key的數(shù)量[2/3 * M, M]（提高空間利用率，從1/2提升到了2/3）
  

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B*樹的插入

B*樹再次修改了插入規(guī)則，規(guī)則修改為如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)已滿而兄弟節(jié)點(diǎn)未滿，則將數(shù)據(jù)放入兄弟節(jié)點(diǎn)，而當(dāng)兩個節(jié)點(diǎn)都滿了之后再進(jìn)行分裂，在原節(jié)點(diǎn)與兄弟節(jié)點(diǎn)之間創(chuàng)建新節(jié)點(diǎn)，從兩個節(jié)點(diǎn)分別取出1/3的數(shù)據(jù)放入新創(chuàng)建的結(jié)點(diǎn)。

還是原來那些數(shù)據(jù){63, 131, 85, 39, 148, 31, 111}

此時插入111，發(fā)生分裂，從兩邊各取走1/3的數(shù)據(jù)

從上面可以看出,B*樹的最大改進(jìn)就是將B+樹的空間利用率從1/2提升到了2/3，并且對非葉子節(jié)點(diǎn)也進(jìn)行了連接，查找更加便利。

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總結(jié)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的高级数据结构与算法 | B树、B+树、B*树的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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