錯排詳解及案例

文章目錄

• 錯排詳解及案例
• • 一、錯排詳解
  • 二、案例
  • • 1.年會抽獎
    • 2.三國佚事——巴蜀之危

一、錯排詳解

問題：現有10本書按照順序擺放，現要求重新排列，使得新的書的順序中每一本書都不在原來的位置，求有多少種排列方式？

• 這個問題推廣一下，就是錯排問題，是組合數學中的問題之一。
• 考慮一個有n個元素的排列，若一個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那么這樣的排列就稱為原排列的一個錯排。 n個元素的錯排數記為D(n)。 研究一個排列錯排個數的問題，叫做錯排問題或稱為更列問題
• OK，現在詳細分析這個問題，我們要的最終結果就是書的編號與所在位置的編號都不相同，在這里，我們把n本書的錯排操作數記為D(n)，那n-1本就是D(n-1)，n-2本就是D(n-2)啦，下面，我們把放置問題分為兩步（初始位置號與書的編號相同）：
• 第一步：
• 我們取一本書，書的編號為m，現在這本書就在我們手中，注意，按照題目要求，最開始的時候這本書的位置號也是m號，按照題目要求，我們現在放書時不能放回這個位置m了，而是要選擇其他位置，那么有多少種選擇呢
• 想一下，總共有n本書，n個位置，現在我手里這本書不能把它放到位置m，那么剩下的n-1個位置我當然就是隨便扔啦，也就是n-1種扔法
• 好，現在，我選擇了位置k，我決定把手里這本書放到位置k這里，記住這個是位置編號k，那么，我肯定要把原來這里的編號為k的書拿出來，再把這本編號為n的書放進去嘍。所以，現在我們手里的書的編號是k，我們需要對編號為k的書進行討論：
• 第二步：
• 我們把手里這本編號為k的書本放到書架，注意，放的過程中我們又面臨兩種情況：
• 可以想到，此時此刻現在書架上編號m的位置是空著的，所以我們可以選擇放在這個位置上，書的編號為k，位置編號為m，沒錯，滿足題意，這是第一種情況
• 還有一種就是我不選擇這個空著的位置m，我再重新選擇一個新的位置，我們稱之為第二種情況。下面詳細分析：
• 第一種情況：
• 我把這本編號為k的書放到這個編號為m的地址，那現在我們面前是什么狀況呢，就是位置k和位置m的書交換位置，也就是位置號不等于書號，即滿足錯排
• 總共n個位置，我們只動了m和k這兩個位置，那么剩下的n-2個位置還是紋絲不動，保持一一對應的關系
• 那么對于剩下的這n-2本書的錯排操作，我們又回到了問題的起點，求n-2本的錯排操作數D(n-2)，結合第一步，我們可以得到第一種情況總共有(n-1)*D(n-2)種方法
• 第二種情況：
• 我們不選擇這個空著的位置m啦，我們手持這本編號為k的書，我們從除了位置m以及位置k的剩下的n-2個位置中選擇一個位置
• OK，我們現在開始想，我手里這本書不能放在這個位置m，嗯嗯，除了第一步我們放置的那本書m不用管了，我們還要把手里這本和剩下的n-2本，也就是n-1本，同時又要求手里這本k還不能放到位置m，這是不是就相當于把手里這本加上剩下的n-2本也就是n-1本書進行錯排呢
• 哇哇哇，想一想，錯排的定義，要求每本書都不能呆在某一個特定位置，是不是剛好符合呢qwq，所以，現在的問題就到了求手里這本和剩下的n-2本總共是n-1本書的錯排操作數，我們記為D(n-1)，結合第一步，我們得出這第二種情況共有(n-1)*D(n-1)種方法
• 好的，現在我們總結兩種情況，結果進行相加，就可以得到遞推公式啦！遞推公式為：D(n)=(n-1)*[D(n-1)+D(n-2)]

二、案例

1.年會抽獎

• 問題描述

今年公司年會的獎品特別給力，但獲獎的規矩卻很奇葩：

首先，所有人員都將一張寫有自己名字的字條放入抽獎箱中；

待所有字條加入完畢，每人從箱中取一個字條；

如果抽到的字條上寫的就是自己的名字，那么“恭喜你，中獎了！”
現在告訴你參加晚會的人數，請你計算有多少概率會出現無人獲獎？

輸入描述

輸入包含多組數據，每組數據包含一個正整數n（2≤n≤20）。

輸出描述

對應每一組數據，以“xx.xx%”的格式輸出發生無人獲獎的概率。

示例1

輸入 2輸出 50.00%

• 代碼

#include<iostream> using namespace std;double luck(double n) {if(n == 1 || n == 2){return n - 1;}return ((n - 1)*(luck(n - 1) + luck(n - 2))); }int main() {double n;while (cin >> n){//錯排的方案數double lu = luck(n);//總的方案數double all = 1;for (double i = 1;i <= n;++i){all *= i;}//概率lu = lu / all*100;printf("%.2f%%\n", lu);}return 0; }

2.三國佚事——巴蜀之危

• 問題描述

話說天下大勢，分久必合，合久必分。。。卻道那魏蜀吳三國鼎力之時，多少英雄豪杰以熱血譜寫那千古之絕唱。古人誠不我欺，確是應了那句“一將功成萬骨枯”。
是夜，明月高懸。諸葛丞相輕搖羽扇，一臉愁苦。原來是日前蜀國戰事吃緊，丞相徹夜未眠，奮筆急書，于每個烽火臺寫下安排書信。可想，這戰事多變，丞相運籌 帷幄，給諸多烽火臺定下不同計策，卻也實屬不易。

誰成想這送信小廝竟投靠曹操，給諸葛丞相暗中使壞。這小廝將每封書信都投錯了烽火臺，居然沒有一封是對的。不多時小廝便被抓住，前后之事卻也明朗。這可急壞了諸葛丞相，這書信傳錯，勢必會讓蜀軍自亂陣腳，不攻自破啊! 諸葛丞相現在想知道被這小廝一亂，這書信傳錯共有多少種情況。

Input

題目有多組數據，處理到文件結尾，丞相共寫了n（1 <= n <= 20）封書信，輸入一個正數n。

Output

輸出書信傳錯的情況數。 Sample Input1 3 6 Sample Output0 2 265 #include <stdio.h> typedef long long LL;LL f[50] ; int main() {f[0] = 0 ;f[1] = 0 ;f[2] = 1 ;int n ;for(int i = 3 ;i<= 20 ; i++){f[i] = (i - 1) * (f[i - 1] + f[i - 2]) ;}while(~scanf("%d",&n)){printf("%lld\n",f[n]);}return 0 ; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的错排详解及案例的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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