B+树和B*树详解
B+樹和B*樹詳解
文章目錄
- B+樹和B*樹詳解
- 一、B+樹
- 1.B+樹的定義
- 2.性質
- 3. B+樹的插入操作
- 4.B+樹的刪除操作
- 二、B*樹
- 1.概念
- 2.性質
- 3.總結
- 1.B-／B樹：
- 2.B+樹：
- 3.B*樹：
一、B+樹
1.B+樹的定義
2.性質
B+樹是B樹的變體，也是一種多路搜索樹，除了：
- 1）B+樹包含2種類型的結點：內部結點（也稱索引結點）和葉子結點。根結點本身即可以是內部結點，也可以是葉子結點。根結點的關鍵字個數最少可以只有1個。
- 2）B+樹與B樹最大的不同是內部結點不保存數據，只用于索引，所有數據（或者說記錄）都保存在葉子結點中。
- 3） m階B+樹表示了內部結點最多有m-1個關鍵字（或者說內部結點最多有m個子樹），階數m同時限制了葉子結點最多存儲m-1個記錄。
- 4）內部結點中的key都按照從小到大的順序排列，對于內部結點中的一個key，左樹中的所有key都小于它，右子樹中的key都大于等于它。葉子結點中的記錄也按照key的大小排列。
- 5）每個葉子結點都存有相鄰葉子結點的指針，葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大順序鏈接。
3. B+樹的插入操作
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1）若為空樹，創建一個葉子結點，然后將記錄插入其中，此時這個葉子結點也是根結點，插入操作結束。
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2）針對葉子類型結點：根據key值找到葉子結點，向這個葉子結點插入記錄。插入后，若當前結點key的個數小于等于m-1，則插入結束。
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否則將這個葉子結點分裂成左右兩個葉子結點，左葉子結點包含前m/2個記錄，右結點包含剩下的記錄，將第m/2+1個記錄的key進位到父結點中（父結點一定是索引類型結點），進位到父結點的key左孩子指針向左結點,右孩子指針向右結點。將當前結點的指針指向父結點，然后執行第3步。
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3）針對索引類型結點：若當前結點key的個數小于等于m-1，則插入結束。
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否則，將這個索引類型結點分裂成兩個索引結點，左索引結點包含前(m-1)/2個key，右結點包含m-(m-1)/2個key，將第m/2個key進位到父結點中，進位到父結點的key左孩子指向左結點, 進位到父結點的key右孩子指向右結點。將當前結點的指針指向父結點，然后重復第3步。
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下面是一顆5階B樹的插入過程，5階B數的結點最少2個key，最多4個key。
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a）空樹中插入5
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b）依次插入8，10，15
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c）插入16
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插入16后超過了關鍵字的個數限制，所以要進行分裂。在葉子結點分裂時，分裂出來的左結點2個記錄，右邊3個記錄，中間key成為索引結點中的key，分裂后當前結點指向了父結點（根結點）。結果如下圖所示。
當然我們還有另一種分裂方式，給左結點3個記錄，右結點2個記錄，此時索引結點中的key就變為15。 -
d）插入17
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e）插入18，插入后如下圖所示
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當前結點的關鍵字個數大于5，進行分裂。分裂成兩個結點，左結點2個記錄，右結點3個記錄，關鍵字16進位到父結點（索引類型）中，將當前結點的指針指向父結點。
當前結點的關鍵字個數滿足條件，插入結束。 -
f）插入若干數據后
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g）在上圖中插入7，結果如下圖所示
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當前結點的關鍵字個數超過4，需要分裂。左結點2個記錄，右結點3個記錄。分裂后關鍵字7進入到父結點中，將當前結點的指針指向父結點，結果如下圖所示。
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當前結點的關鍵字個數超過4，需要繼續分裂。左結點2個關鍵字，右結點2個關鍵字，關鍵字16進入到父結點中，將當前結點指向父結點，結果如下圖所示。
當前結點的關鍵字個數滿足條件，插入結束。
4.B+樹的刪除操作
- 如果葉子結點中沒有相應的key，則刪除失敗。否則執行下面的步驟
- 1）刪除葉子結點中對應的key。刪除后若結點的key的個數大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1，刪除操作結束,否則執行第2步。
- 2）若兄弟結點key有富余（大于Math.ceil(m-1)/2 – 1），向兄弟結點借一個記錄，同時用借到的key替換父結（指當前結點和兄弟結點共同的父結點）點中的key，刪除結束。否則執行第3步。
- 3）若兄弟結點中沒有富余的key,則當前結點和兄弟結點合并成一個新的葉子結點，并刪除父結點中的key（父結點中的這個key兩邊的孩子指針就變成了一個指針，正好指向這個新的葉子結點），將當前結點指向父結點（必為索引結點），執行第4步（第4步以后的操作和B樹就完全一樣了，主要是為了更新索引結點）。
- 4）若索引結點的key的個數大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1，則刪除操作結束。否則執行第5步
- 5）若兄弟結點有富余，父結點key下移，兄弟結點key上移，刪除結束。否則執行第6步
- 6）當前結點和兄弟結點及父結點下移key合并成一個新的結點。將當前結點指向父結點，重復第4步。
注意，通過B+樹的刪除操作后，索引結點中存在的key，不一定在葉子結點中存在對應的記錄。
- 下面是一顆5階B樹的刪除過程，5階B數的結點最少2個key，最多4個key。
- a）初始狀態
- b）刪除22,刪除后結果如下圖
刪除后葉子結點中key的個數大于等于2，刪除結束 - c）刪除15，刪除后的結果如下圖所示
- 刪除后當前結點只有一個key,不滿足條件，而兄弟結點有三個key，可以從兄弟結點借一個關鍵字為9的記錄,同時更新將父結點中的關鍵字由10也變為9，刪除結束。
- d）刪除7，刪除后的結果如下圖所示
- 當前結點關鍵字個數小于2，（左）兄弟結點中的也沒有富余的關鍵字（當前結點還有個右兄弟，不過選擇任意一個進行分析就可以了，這里我們選擇了左邊的），所以當前結點和兄弟結點合并，并刪除父結點中的key，當前結點指向父結點。
- 此時當前結點的關鍵字個數小于2，兄弟結點的關鍵字也沒有富余，所以父結點中的關鍵字下移，和兩個孩子結點合并，結果如下圖所示。
二、B*樹
1.概念
是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針；
2.性質
- B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3（代替B+樹的1/2）；
- B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，并將原結點中1/2的數據復制到新結點，最后在父結點中增加新結點的指針；
- B+樹的分裂只影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指針；
- B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那么將一部分數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最后修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字范圍改變了）；
- 如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，并各復制1/3的數據到新結點，最后在父結點增加新結點的指針；
- 所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；
3.總結
1.B-／B樹：
關鍵字的數量比孩子的數量少一，M階的B-／B樹最多有M個孩子，M- 1個關鍵字。分裂的方式把關鍵字已經滿的節點中的數據移動1/2到另一個節點
2.B+樹：
B+樹中關鍵字的數量和孩子的數量相等，在B-樹基礎上，為葉子結點增加鏈表指針，所有關鍵字都在葉子結點中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引，遍歷葉子節點就可以得到所有的數據；B+樹總是到葉子結點才命中。M階的B+樹一個節點最少有M／ 2個關鍵字。分裂的方式把關鍵字已經滿的節點中的數據拷貝1/2到另一個新節點
3.B*樹：
在B+樹基礎上，為非葉子結點也增加鏈表指針，M階的B樹一個節點最少有M 2／3 個關鍵字，將結點空間的最低利用率從1/2提高到2/3。分裂的方式是：如果它的下一個兄弟節點的關鍵字沒滿，就把關鍵字已經滿的節點中的數據移動到兄弟節點當中；如果兄弟節點也滿了，就在二者之間增加新節點，各復制1/3的數據到新節點當中
總結
