狀態(tài)轉移矩陣計算解讀

A的特征值互異(3/4)--例3-7 例3-7 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù) 解 由于矩陣A的3個特征值互異,并分別為-1,-2和-3,因此解方程組(3-52)可得 A的特征值互異(4/4) 則系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣為 A有重特征值(1/4) (2) A有重特征值 由于矩陣A與它的約旦矩陣 具有相同的最小多項式?(?),因此由前面的推導過程可知,約旦矩陣 也滿足 設A與 的特征值?i的代數(shù)重數(shù)為mi,則由上式很容易證明?i(t)滿足 求解上述方程,則可求得待定函數(shù)?i(t)。 A有重特征值(2/4) 為清楚說明問題,設A和 有如下6個特征值:?1,?1,?1,?2,?2,?3。 則相應的矩陣指數(shù)函數(shù)計算式(3-49)中的待定函數(shù)?i(t)(i=0, 1,…,5)的計算式為 A有重特征值(3/4)—例3-8 值得指出的是,上述塞爾維斯特內(nèi)插法不僅對矩陣A的最小多項式成立,而且對所有矩陣A的零化多項式也成立。 因此,在難以求解最小多項式時,上述方法中的最小多項式可用矩陣A的特征多項式代替,所得結果一致,僅計算量稍大。 例3-8 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù) A有重特征值(4/4)—例3-8 解 解矩陣A的特征方程, 得特征值為1,1和2。 由于特征值2為二重特征值,下面按基于 最小多項式和 特征多項式 兩種多項式用塞爾維斯特插值法計算矩陣指數(shù)函數(shù)。 A有重特征值(5/4)—例3-8 (1) 基于最小多項式計算 先計算伴隨矩陣 因此,伴隨矩陣adj(?I-A)各元素的最高公約式為(?-2),故最小多項式?(?)為 A有重特征值(6/4)—例3-8 由于最小多項式的階次為2,則根據(jù)塞爾維斯特插值法,矩陣指數(shù)函數(shù)可以表示為 因此,待定函數(shù)?i(t)(i=0, 1)計算如下 則系統(tǒng)的矩陣指數(shù)函數(shù)為 A有重特征值(7/4)—例3-8 (2) 基于特征多項式計算 由于特征多項式的階次為3,則根據(jù)塞爾維斯特插值法,矩陣指數(shù)函數(shù)可以表示為 因此,待定函數(shù)?i(t)(i=0, 1,2)計算如下 A有重特征值(8/4)—例3-8 則系統(tǒng)的矩陣指數(shù)函數(shù)為 Ch.3 線性系統(tǒng)的時域分析 目錄(1/1) 目 錄 概述 3.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 3.2 狀態(tài)轉移矩陣及其計算 3.3 線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 3.4 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化 3.5 線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 3.6 Matlab問題 本章小結 狀態(tài)轉移矩陣計算(1/1) 3.2 狀態(tài)轉移矩陣計算 在狀態(tài)方程求解中,關鍵是狀態(tài)轉移矩陣?(t)的計算。 對于線性定常連續(xù)系統(tǒng),該問題又歸結為矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算。 上一節(jié)已經(jīng)介紹了基于拉氏反變換技術的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算方法,下面講述計算矩陣指數(shù)函數(shù)的下述其他3種常用方法。 級數(shù)求和法 約旦規(guī)范形法 化eAt為A的有限多項式矩陣函數(shù)法 重點推薦 級數(shù)求和法(1/3) 3.2.1 級數(shù)求和法 由上一節(jié)對矩陣指數(shù)函數(shù)的定義過程中可知: 矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算可由上述定義式直接計算。 由于上述定義式是一個無窮級數(shù),故在用此方法計算eAt時必須考慮級數(shù)收斂性條件和計算收斂速度問題。 類似于標量指數(shù)函數(shù)eat, 對所有有限的常數(shù)矩陣A和有限的時間t來說,矩陣指數(shù)函數(shù)eAt這個無窮級數(shù)表示收斂。 級數(shù)求和法(2/3) 顯然,用此方法計算eAt一般不能寫成封閉的、簡潔的解析形式,只能得到數(shù)值計算的近似計算結果。 其計算精度取決于矩陣級數(shù)的收斂性與計算時所取的項數(shù)的多少。 如果級數(shù)收斂較慢,則需計算的級數(shù)項數(shù)多,人工計算是非常麻煩的,一般只適用于計算機計算。 因此,該方法的缺點: 計算量大 精度低 非解析方法,難以得到計算結果的簡潔的解析表達式 。 級數(shù)求和法(3/3)—例3-4 例3-4 用直接計算法求下述矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù): 解 按矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式計算如下: 約旦規(guī)范形法 (1/8) 3.2.2 約旦規(guī)范形法 上節(jié)給出了對角線矩陣、塊對角矩陣和約旦塊三種特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)。 由于任何矩陣都可經(jīng)線性變換成為對角線矩陣或約旦矩陣,因此 可通過線性變換將一般形式的矩陣變換成對角線矩陣或約旦矩陣, 再利用上述特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)來快速計算矩陣矩陣指數(shù)函數(shù)。 下面討論之。 約旦規(guī)范形法(2/8) 下面首先討論矩陣指數(shù)函數(shù)的一條性質(zhì): 對矩陣A,經(jīng)變換矩陣P作線性變換后,有 則相應地有如下矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關系 約旦規(guī)范形法(3/8) 該結論可簡單證明如下: 根據(jù)上述性質(zhì),對任何矩陣A, 可先(1)通過線性變換方法得到對角線矩陣或約旦矩陣, 然后(2)利用該類特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù),由矩陣指

總結

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