文章目錄

• 1. Transient and steady-state
• 2. Source free circuit $\to$ natural response
• • 2.1 RL, RC
  • • 2.1.1 RL circuit
    • 2.1.2 RC circuit
  • 2.2 Initial condition
  • 2.3 Summary
• 3. Driven circuit - Circuit with source $\to$ forced response
• • 3.1 Solving the first order differential equation
  • 3.2 RL, RC
  • 3.3 Complete response

一階電路是簡化后只含有一個電容或電感元件的電路，而在這些電路中，常常會需要分析開關斷連前后的情況，這就需要對電路做瞬態分析

在閱讀本文之前，覺得需要回顧電容，電感性質的，可以看看之前寫的電磁元件， 這里主要用到兩個相關公式：

電容器所在電路的電流 $i=C\frac{dv}{dt}$

電感兩端的電壓 $v=L\frac{di}{dt}$

我們還會用到一些表示方法，大寫的字母$V_s,I_S$表示的是源的參數，它們不因時間改變而改變
小寫的$v(t),i(t),p(t)$與時間相關，是時間的函數

1. Transient and steady-state

在電路通斷前后，電容器的電壓變化看起來似乎是一瞬間的事，然而根據公式$i=C\frac{dv}{dt}$，如果電壓真的是瞬間變化的，那么電流會趨于無限大，這在現實中并不成立。因此電壓的變化一定是連續的，這個在極短時間內變化的量就被稱為瞬態(Transient)

一段時間之后，電容器充能完畢，它就會表現出斷路的性質，這時的電路狀態被稱為穩態(steady-state)

同理，電感電路也存在瞬態和穩態

在對電路進行分析時，我們常常將其按時間劃分為四個階段：

t < 0，此時是電路的起始狀態，處于穩態

t = 0，此時電路變化，瞬態發生 ，這一瞬間我們還會提取出兩個值t(0⁺)和t(0^-)，t(0^-)是起始穩態的最終值，t(0⁺)是電路變化后的第一個值，在微分中用作起始值（Initial condition）

t = A，此時電路又一次達到穩態，因此，瞬態發生在0 < t < A這段時間內，而t > A時電路處于穩態

2. Source free circuit $\to$ natural response

有時，在電路變化后，外部電源不再存在，此時的電路是無源電路(source free circuit)，能量皆由內部的電感或電容供應，一切自然發生而不受外力驅動，此時的響應也被稱為自然響應(natural response)

2.1 RL, RC

2.1.1 RL circuit

下圖是無源RL電路圖，可以看到，電路中沒有電源，電流由電感提供

假設t = 0時，$i_L(0)=I_0$
對電路應用KVL:
$$R{i}_L+v_L=0$$
應用通過電感的電流公式，可以得到：
$$R{i}_L+L\frac{d{i}_L}{dt}=0$$
找到$i_L(t)$的表達式，使其滿足上式，且在$t=0$時的值為$I_0$
最終解出的表達式為:
$$i_L(t)=I_0{e}^{\frac{?Rt}{L}}=I_0{e}^{\frac{?t}{\tau }}$$
其中$\tau =L/R$時是RL電路的時間常量，R是從電感視角看去的總電阻

經過 $\tau$ 時間，電感提供的電流 $i$ 會降到初始電流 $I_0$ 的3.6788%，這一數字需要記憶
一般在經過 $5\tau$ 后，電感能量視為釋放完畢

我們還可以從能量的角度看，電路中電阻的功率為：
$$p_R=i^{2}R$$
代入電感的電流公式
$$p_R={I_0}^{2}R{e}^{?2Rt/L}$$
功率對時間積分可以得到做功，積分范圍為$0\to \infty$最終得出結果為
$$\frac{1}{2}L{I_0}^2$$
這個結果電感初始存儲的能量表達式相同，這意味著電感的能量被電阻掏空了

2.1.2 RC circuit

對無源RC電路的分析與RL基本一致，不過應用的定律從KVL變成了KCL

可以看到，在t = 0時，形成了一個無源RC電路
分析時，我們首先假設電容器電壓$v_c(t)$在$t=0$時的電壓為 $V_0$
接著，應用KCL，我們可以得到：
$$i_C+i_R=C\frac{d{v}_c}{dt}+\frac{v_c}{R}=0$$
解方程，得到電容器電壓隨時間變化的表達式為
$$v_c(t)=V_0{e}^{?t/RC}=V_0{e}^{?t/\tau }$$
$\tau =RC$ 是RC電路的時間常量
同樣的，我們通常認為電容器在 $5\tau$ 之后放電完畢

2.2 Initial condition

這里提到的Initial condition指的是電路改變后瞬間的狀態，而非整個電路改變之前的狀態

電路分析時，有這樣一些要點需要牢記

注意通過電感的電流方向和電容器的極性

電容器電壓和電感電流都不會瞬間變化，因此$v_c(0^{+})=v_c(0^{?}),i_L(0^{+})=i_L(0^{?})$

在尋找變化后的初始值時，先關注上述兩個不會突然改變的值

2.3 Summary

電容器電壓和電感電流隨時間變化的關系可以被總結如下：
$$x(t)=x_0{e}^{?t/\tau }$$
其中$x(t)$對于電容來說是電壓，對于電感來說是電流
其中$x_0$是電容的初始電壓，是電感的初始電流
RL電路：$\tau =L/R$
RC電路：$\tau =RC$

3. Driven circuit - Circuit with source $\to$ forced response

在source free circuit中，我們主要討論了源被突然移出電路的情況，現在，我們來討論源被突然加進電路的情況，其中，我們會用到函數(step function)來描述電路，這一函數在《我們身邊的信號》中介紹過，這里的用法差不多，比如$v_s(t)=V_{s}u(t)$，就表示t > 0時接入電源

3.1 Solving the first order differential equation

當RC電路中突然接入一個直流源，它可以通過階梯函數建模，而它引起的響應被稱為階躍響應(step response)

如圖是一個Driven RC 電路

應用KCL，可以得到：
$$C\frac{d{v}_c}{dt}+\frac{v_c?V_{s}u(t)}{R}=0$$
$V_{s}u(t)$是電源電壓隨時間的表達式，進一步計算：
$$\frac{d{v}_c}{dt}+\frac{v_c}{RC}=\frac{V_s}{RC}u(t)=\frac{V_s}{RC}fort>0$$
對RL電路做類似的分析，可以總結如下公式：

其中x(t)是未知表達式，f(t)是驅動函數(forcing function
這一套東西看起來很復雜，而且不好應用，所以接下來我們給出一個好應用的
將$f(t)$設為$X_f$,經過一系列非常巧妙但對我們來說不是很重要的數學計算，可以得到：
$$x(t)=X_f+[x(0)?X_f]e^{?t/\tau }$$

3.2 RL, RC

將上面得到的表達式分別應用在RC和RL電路中
對于RC

• $x(t)$是電容器上的電壓$v_c(t)$
• $x(0)$是電容器在t = 0時的初始電壓
• $X_f$是外部電壓源$V_s$
• 時間常量$\tau =RC$

對于RL

• $x(t)$是電感上的電流$i_L(t)$
• $x(0)$是電感在t = 0時的初始電流
• $X_f$是外部電流源$I_s$
• 時間常量$\tau =L/R$

對于上面的表達式，其實還有一種比較簡單的理解方式，即：
$$x(t)=x(\infty )+[x(0)?x(\infty )]e^{?t/\tau }$$
其中$x(0)$是起始值，$x(\infty )$是最終值，這個值對于電容器是電壓，對于電感是電流
因此，尋找電容電壓或電感電流表達式時，只需要獲得三個輸入：

起始電容電壓/電感電流

最終電容電壓/電感電流

時間常量

這也是做題時的主要思路

3.3 Complete response

上述公式表達的響應實際上是一個完整響應(Complete response)，傳統上我們有兩種辦法分解完整響應

第一種是將其分解為自然響應和強制響應
第二種是將其分解為瞬態響應和穩態響應

總結

以上是生活随笔為你收集整理的对一阶电路的瞬态分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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