| 數列的極限 | ?A，?ε>0，?N，n>N時│an-A│<ε ? lim?n→∞\lim\limits_{n→∞}n→∞lim?an=A |
| 數列極限存在條件 | 數列的任意子列的極限存在且相等 |
| 數列特性 | 數列收斂???數列有界；數列極限不唯一???數列發散；數列收斂且從某項以后全為正（負）???數列極限為正（負） |
| 無窮級數 | S=∑n=1∞∑\limits_{n=1}^∞n=1∑∞?an=lim?n→∞∑i=1n\lim\limits_{n→∞}∑\limits_{i=1}^nn→∞lim?i=1∑n?an |
| 無窮級數末零性 | ∑n=1∞∑\limits_{n=1}^∞n=1∑∞?an收斂?lim?n→∞\lim\limits_{n→∞}n→∞lim?an=0 |
| 無窮級數線性性 | ∑n=1∞∑\limits_{n=1}^∞n=1∑∞?an=S1，∑n=1∞∑\limits_{n=1}^∞n=1∑∞?bn=S2?∑n=1∞∑\limits_{n=1}^∞n=1∑∞?(k1an+k2bn)=k1S1+k2S2 |
| 無窮級數重排性 | 改變級數的有限項不影響其斂散性；改變收斂級數的相加順序，其和不變 |
| 正項/交錯級數 | 每一項都為正的級數為正項級數，一項正一項負的級數為交錯級數 |
| 柯西收斂準則 | ?ε>0，?N，當n>N時，?p>0，∣∑i=n+1n+pai∣\begin{vmatrix}∑\limits_{i=n+1}^{n+p}a_i\end{vmatrix}?i=n+1∑n+p?ai???<ε?∑n=1∞an∑\limits_{n=1}^∞a_nn=1∑∞?an?收斂 |
| 正項放縮判別法 | an≥bn或lim?n→∞bn￣an=0?\lim\limits_{n→∞}\begin{matrix}\underline{b_n}\\a_n\end{matrix}=0?n→∞lim?bn??an??=0?∑an斂則∑bn斂，∑bn散則∑an散，注意運用調和級數∑1n\frac1nn1? |
| 正項極限判別法 | 對兩正項級數，lim?n→∞anbn￣=\lim\limits_{n→∞}\begin{matrix}a_n\\\overline{b_n}\end{matrix}=n→∞lim?an?bn???=C≠0?∑an，∑bn同斂散；非正項級數不適用，如(?1)n￣n+1n:(?1)n￣n\begin{matrix}\underline{(-1)^n}\\\sqrt n\end{matrix}+\frac1n:\begin{matrix}\underline{(-1)^n}\\\sqrt n\end{matrix}(?1)n?n??+n1?:(?1)n?n?? |
| 正項比值判別法 | lim?n→∞an+1￣an<1\lim\limits_{n→∞}\begin{matrix}\underline{a_{n+1}}\\a_n\end{matrix}<1n→∞lim?an+1??an??<1則級數收斂，lim?n→∞an+1￣an>1\lim\limits_{n→∞}\begin{matrix}\underline{a_{n+1}}\\a_n\end{matrix}>1n→∞lim?an+1??an??>1則級數發散 |
| 正項根值判別法 | lim?n→∞ann<1\lim\limits_{n→∞}\sqrt[n]{a_n}<1n→∞lim?nan??<1則級數收斂，lim?n→∞ann>1\lim\limits_{n→∞}\sqrt[n]{a_n}>1n→∞lim?nan??>1則級數發散 |
| 正項積分判別法 | ∑n=k∞∑\limits_{n=k}^∞n=k∑∞?an和∫k∞∫_k^∞∫k∞?a(x)dx同斂散 |
| 正項p-判別法 | ?p>1，lim?n→∞\lim\limits_{n→∞}n→∞lim?npan=C?∑an收斂；?p≤1，lim?n→∞\lim\limits_{n→∞}n→∞lim?npan≠0?∑an發散 |
| 萊布尼茨判別法 | 交錯級數的絕對值單調不增且lim?n→∞\lim\limits_{n→∞}n→∞lim?an=0?該級數收斂且∑n=k+1∞∑\limits_{n=k+1}^∞n=k+1∑∞?│an│≤│ak│ |
| 絕對/條件收斂 | ∑│an│斂則絕對收斂，∑an斂而∑│an│散則條件收斂 |
| 任意級數通性 | ∑│an│斂?∑an斂；任意級數有lim?n→∞∣an+1￣an∣>1\lim\limits_{n→∞}\begin{vmatrix}\underline{a_{n+1}}\\a_n\end{vmatrix}>1n→∞lim??an+1??an???>1或lim?n→∞│an│n>1\lim\limits_{n→∞}\sqrt[n]{│a_n│}>1n→∞lim?n│an?│?>1則發散 |
| 冪級數與和函數 | S(x)=∑n=0∞∑\limits_{n=0}^∞n=0∑∞?an(x-a)n，x∈收斂域 |
| 求收斂半徑 | 未缺項時lim?n→∞∣an+1￣an∣=lim?n→∞∣an∣n=1R￣\lim\limits_{n→∞}\begin{vmatrix}\begin{matrix}\underline{a_{n+1}}\\a_n\end{matrix}\end{vmatrix}=\lim\limits_{n→∞}\sqrt[n]{\begin{vmatrix}a_n\end{vmatrix}}=\begin{matrix}1\\\overline R\end{matrix}n→∞lim??an+1??an????=n→∞lim?n?an????=1R?，缺項時lim?n→∞∣an+k￣an∣=1Rk￣\lim\limits_{n→∞}\begin{vmatrix}\begin{matrix}\underline{a_{n+k}}\\a_n\end{matrix}\end{vmatrix}=\begin{matrix}1\\\overline{R^k}\end{matrix}n→∞lim??an+k??an????=1Rk? |
| 冪級數收斂區間 | 冪級數在a點展開，收斂半徑為R時，收斂區間=(a-R,a+R) |
| 冪級數收斂域 | 收斂域 = 收斂區間 ∪ 收斂端點 |
| 冪級數阿貝斂理 | ∑n=0∞∑\limits_{n=0}^∞n=0∑∞?an(x-a)n在b點收斂?│x-a│<│b-a│時該級數絕對收斂 |
| 冪級數阿貝散理 | ∑n=0∞∑\limits_{n=0}^∞n=0∑∞?an(x-a)n在b點發散?│x-a│>│b-a│時該級數發散 |
| 復合收斂半徑 | 兩個在同一點展開的級數相加或相乘后，新級數的R=min(R1,R2) |
| 冪級數的連續性 | 冪級數的和函數在其收斂域內連續 |
| 逐項求導與積分 | S’(x)=∑n=1∞∑\limits_{n=1}^∞n=1∑∞?nan(x-a)n-1，求導后僅收斂區間不變；∫0x∫_0^x∫0x?S(t)dt=∑n=0∞ann+1￣xn+1∑\limits_{n=0}^∞\begin{matrix}a_n\\\overline{n+1}\end{matrix}x^{n+1}n=0∑∞?an?n+1??xn+1 |
| 泰勒級數 | f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)￣n!(x?x0)n，f(n+1)(ξ)￣(n+1)!(x?x0)n+1f(x)=∑\limits_{n=0}^∞\begin{matrix}\underline{f^{(n)}(x_0)}\\n!\end{matrix}(x-x_0)^n，\begin{matrix}\underline{f^{(n+1)}(ξ)}\\(n+1)!\end{matrix}(x-x_0)^{n+1}f(x)=n=0∑∞?f(n)(x0?)?n!?(x?x0?)n，f(n+1)(ξ)?(n+1)!?(x?x0?)n+1為拉格朗日余項，o(xn)o(x^n)o(xn)為皮亞諾余項 |
| 泰勒級數使用條件 | f(x)在x=x0的某鄰域內可泰勒展開?f(x)在該鄰域內具有任意階導數，余項lim?n→∞\lim\limits_{n→∞}n→∞lim?Rn(x)=0 |
| 麥克勞林級數 | f(x) =∑n=0∞f(n)(0)￣n!xn∑\limits_{n=0}^∞\begin{matrix}\underline{f^{(n)}(0)}\\n!\end{matrix}x^nn=0∑∞?f(n)(0)?n!?xn |
| 冪級數唯一性 | 在x=x0的某鄰域有∑n=0∞∑\limits_{n=0}^∞n=0∑∞?an(x-a)n =∑n=0∞∑\limits_{n=0}^∞n=0∑∞?bn(x-b)n?ai=bi |
| 常用展開式 | 見另一篇博客 |
| 狄利克雷條件 | 周期函數f(x)f(x)f(x)在一個周期內連續，或只有有限個第一類間斷點和極值，且絕對可積 |
| 傅里葉級數 | f(x)=a0￣2+∑n=1∞(ancos?2πnTx+bnsin?2πnTx),{a0=2T∫aa+Tf(x)dxan=2T∫aa+Tf(x)cos?2πnTxdxbn=2T∫aa+Tf(x)sin?2πnTxdxf(x)=\begin{matrix}\underline{a_0}\\2\end{matrix}+∑\limits_{n=1}^∞(a_n\cos\frac{2πn}Tx+b_n\sin\frac{2πn}Tx), \left\{\begin{matrix}a_0=\frac2T∫\limits_a^{a+T}f(x)\mathrm dx\\a_n=\frac2T∫\limits_a^{a+T}f(x)\cos\frac{2πn}Tx\mathrm dx\\b_n=\frac2T∫\limits_a^{a+T}f(x)\sin\frac{2πn}Tx\mathrm dx\end{matrix}\right.f(x)=a0??2?+n=1∑∞?(an?cosT2πn?x+bn?sinT2πn?x),????a0?=T2?a∫a+T?f(x)dxan?=T2?a∫a+T?f(x)cosT2πn?xdxbn?=T2?a∫a+T?f(x)sinT2πn?xdx? |
| 傅里葉級數特性 | f(x)在某區間內滿足狄利克雷條件即可“傅展”，展后為以被展區間為周期的周期函數 |
| 狄利克雷收斂定理 | 在f(x)的間斷點x=a處，其傅里葉級數收斂于f(a?)+f(a+)￣2\begin{matrix}\underline{f(a^-)+f(a^+)}\\2\end{matrix}f(a?)+f(a+)?2? |
| 倒數平方和 | 在[-π,π]上將f(x)=│x│展開成傅里葉級數，可算出∑n=1∞1n2￣=π2￣6\sum\limits_{n=1}^∞\begin{matrix}1\\\overline{n^2}\end{matrix}=\begin{matrix}\underline{π^2}\\6\end{matrix}n=1∑∞?1n2?=π2?6? |
